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Post date: Apr 17, 2019 5:7:54 PM
Paragrafi 4, 5 e 6 cap G1 del libro, che su questa parte è particolarmente confuso.
Uguale in che senso?
Uguale in che senso?
Quando nel linguaggio comune diciamo che due cose, o due persone, sono "uguali", intendiamo che hanno una qualche caratteristica comune. Spesso questa caratteristica comune viene dedotta dal contesto e non è esplicitata: "i cittadini sono uguali davanti alla legge" vuol dire che hanno uguali diritti e uguali doveri; "uguali come due gocce d'acqua" si riferisce alla forma difficilmente distinguibile ecc.
In Matematica serve una maggiore precisione, e dobbiamo stabilire con esattezza quali caratteristiche stiamo confrontando.
In Geometria in particolare, siamo interessati a varie "relazioni di equivalenza" e parleremo di
coincidenza quando due oggetti sono in realtà uno solo
equivalenza quando due oggetti hanno la stessa misura
similitudine quando due oggetti sono uguali per forma ma non necessariamente per dimensioni
Tutte queste nozioni di uguaglianza hanno in comune alcune caratteristiche:
Definizione:
una relazione di equivalenza è una relazione che soddisfa 3 proprietà:
1) x~x per ogni possibile x
2) se x~y allora y~x
3) se x~y e y~z allora x~z
riflessività
simmetria
transitività
Esercizio:
la condizione di parallelismo tra due rette, è una relazione di equivalenza?
La congruenza
La congruenza
La relazione di equivalenza che vogliamo introdurre corrisponde all'idea intuitiva di uguale per forma e per dimensioni. In alcune formulazioni assiomatiche della geometria euclidea nelle quali è stato definito lo "spostamento rigido", è chiamata sovrapponibilità, perché due figure di questo tipo, nella geometria euclidea, possono essere sovrapposte perfettamente.
Chiameremo questa relazione "congruenza" (≡) e la definiremo attraverso alcuni assiomi:
Assioma C.equivalenza
La congruenza è una relazione di equivalenza.
In altre parole, soddisfa le proprietà 1) 2) e 3) scritte sopra.
Congruenza dei segmenti
Congruenza dei segmenti
Come confrontiamo i segmenti?
Assioma C.segmenti (del trasporto dei segmenti)
Dato un segmento AB e una semiretta r di origine O, esiste un unico punto P su r tale che il segmento OP è congruente al segmento AB (in formule, OP≡AB)
Dire che esiste ed è unico il punto P non basta certo a stabilire la relazione che abbiamo in mente: per quello che ne sappiamo, il segmento potrebbe essersi allungato o accorciato durante il trasporto. Per evitare questa situazione, serve qualcosa in più:
Assioma C.s.somma (della somma dei segmenti)
Dati due segmenti consecutivi AB e BC e data una semiretta r di origine O, sia OP≡AB. Sulla semiretta s contenuta in r e di origine P sia PQ≡BC.
Vale OQ≡AC.
La nozione di congruenza tra i segmenti permette di confrontare le lunghezze di segmenti diversi: basta riportare i segmenti sulla stessa semiretta (dove esiste una relazione d'ordine grazie agli assiomi d'ordine) e vedere quale segmento finisce prima:
Dati AB e XY, trasporto AB sulla semiretta r di origine X che contiene Y, ottenendo il segmento XP≡AB. Se P > Y sulla semiretta r, dico che la lunghezza di AB è maggiore della lunghezza di XY.
Con idee analoghe, possiamo definire la somma e differenza dei segmenti e da queste moltiplicazione di un segmento per un numero.
Possiamo eleggere la lunghezza di un segmento ad unità di misura e confrontare qualsiasi altro segmento con la nostra lunghezza campione.
Congruenza degli angoli
Congruenza degli angoli
La relazione di congruenza tra i segmenti non permette, da sola, di confrontare figure geometriche bidimensionali. Serve definire una (nuova) relazione congruenza per gli angoli.
Assioma C.angoli (del trasporto degli angoli)
Dato un angolo sÂs' e una semiretta r di origine O, esiste, in ognuno dei due semipiani generati dal prolungamento di r, un'unica semiretta r' per la quale rÔr' ≡ sAs'
Di nuovo possiamo definire multipli e sottomultipli di un angolo dato e stabilire un'unità di misura per gli angoli. Euclide aveva preso come unità di misura l'angolo retto. Noi prendiamo l'angolo giro e decidiamo che misura 360°. In altre parole, 1° è la misura di un trecentosessantesimo di angolo giro.
Non serve un assioma di congruenza della somma degli angoli perché deriverà dalla congruenza dei triangoli:
Sarà possibile dimostrare che
Somme o differenze di angoli congruenti sono congruenti
Sul libro, studia le definizioni di
punto medio di un segmento
bisettrice di un angolo
angolo retto/acuto/ottuso
angoli complementari/supplementari/esplementari
angoli opposti al vertice
Nota: i "postulati" a pagina G15 si possono dimostrare e sono quindi teoremi.
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