Cinematica nel linguaggio delle funzioni

Post date: Mar 12, 2017 9:34:24 AM

Nel linguaggio delle funzioni

Supponiamo che il nostro esperimento ci abbia permesso di misurare la funzione

x(t)

che rappresenta la posizione dell'oggetto che stiamo guardando in funzione del tempo.

In altre parole, se noi chiediamo la posizione dopo 8,03 s dall'inizio dell'esperimento, questo valore è dato da x calcolato quando t= 8,03, valore che indichiamo con x(8,03).

Il nostro sensore ultrasonico di posizione realizzava una misura ogni cinquantesimo di secondo; quindi quello che noi conosciamo è la posizione quando t è un multiplo intero di questo tempo.

Per semplificare la notazione e non portarci dietro questo intervallo, ci conviene misurare il tempo non in secondi ma in cinquantesimi di secondo:

Se chiamiamo δ = 1/50 s, la nostra funzione è definita soltanto quando t = δ n, dove n è un numero intero.

Introduciamo la funzione

z(n) := x( δ n).

[Il simbolo := si legge "definito come"].

Questa funzione ci dà la posizione al variare del numero intero n, che rappresenta il tempo misurato in cinquantesimi di secondo.

La velocità e l'operatore differenza

Dalla misura della posizione, possiamo risalire al valore della velocità istante per istante. Il software di analisi dati ha fatto questa operazione per noi, ma come ha fatto?

Ha calcolato la velocità come pendenza nel diagramma posizione-tempo

v(t) = (x(t)-x(t-δ))/δ

cioè, la velocità è data dalla distanza percorsa tra due misure successive, divisa per il tempo trascorso tra le due misure. Utilizzando la funzione z, possiamo riscrivere questa formula come

v(δn) = (z(n)-z(n-1))/δ .

Chiamiamo u(n) := v(δn) e osserviamo che u=D[z] /δ, cioè che la velocità u si ottiene applicando l'operatore differenza alla funzione z e poi dividendo il risultato per δ. A parole, si dice che

la velocità è la derivata della posizione rispetto al tempo,

dove "derivata" vuol dire "differenza divisa per δ". La derivata equivale alla pendenza del segmento che va da (t-δ;x(t-δ)) al punto (t;x(t)). Possiamo pensare alle locuzioni "pendenza", "derivata" e "coefficiente angolare della retta tangente" essenzialmente come sinonimi.

Il calcolo della velocità a partire dalla posizione è un'operazione che abbiamo svolto manualmente nell'esperienza della palla che cade. In quell'occasione, avevamo osservato come l'errore sulla velocità fosse molto grande. In effetti, anche con tutta la precisione del nostro apparato di misura, alcuni punti del grafico della velocità in funzione del tempo erano chiaramente fuori posto.

L'accelerazione e la differenza di velocità

Ancora peggio andava con l'accelerazione, che era calcolata in maniera del tutto analoga come pendenza nel diagramma velocità-tempo

a(t) = (v(t)-v(t-δ))/δ

a(n) := a(δn) = (u(n)-u(n-1))/δ

cioè a=D[u] /δ. Usando questa notazione, scriviamo a=D[D[z]] /δ². Che si legge come

l'accelerazione è la derivata seconda della posizione rispetto al tempo,

dove "derivata seconda" vuol dire "differenza della differenza divisa per δ²".