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Post date: Oct 23, 2017 6:31:29 PM
Il valore assoluto di un numero x può essere interpretato geometricamente come la distanza, sulla retta dei numeri, tra x e l'origine.
Algebricamente, possiamo scrivere che
|x| = √(x2),
perché elevando x al quadrato perdiamo memoria del suo segno e quando poi facciamo la radice, otteniamo un numero positivo, che equivale ad x se x era positivo e a -x se x era negativo.
Essendo |x| una distanza (la distanza euclidea sulla retta), vale la disuguaglianza triangolare (vedi figura):
per ogni coppia di numeri reali x e y,
|x+y| ≤ |x| + |y|
In altre parole, il modulo della somma è minore o uguale alla somma dei moduli.
Per quanto riguarda il modulo del prodotto, è immediato dimostrare che
|xy| = |x| |y|
Esercizio: usa la disuguaglianza triangolare per dimostrare il
Teorema di unicità del limite:
se an ha limite a e an ha limite a', allora a=a'
Traccia della dimostrazione:
scegli ε= |a-a'|/3.
se an ha limite a, esiste un numero k per cui |an-a|< ε per tutti gli n>k
analogamente, se an ha limite a', esiste un numero k' per cui |an-a'|< ε per tutti gli n>k'
quindi, per tutti gli n>max{k,k'}, devono valere sia |an-a|< ε che |an-a'|< ε
adesso usa la disuguaglianza triangolare con x=an-a e y=a'-an, scoprendo che...
Esercizio: usa la disuguaglianza triangolare per dimostrare il
Teorema della somma dei limiti:
se an ha limite a e bn ha limite b, allora la successione cn = an + bn ha limite a+b.
In altre parole, il limite della somma è uguale alla somma dei limiti (se questi esistono e sono finiti)
Traccia della dimostrazione:
sia ε>0 un numero positivo, e sia ε' = ε/2
se an ha limite a, esiste un numero k per cui |an-a|< ε' per tutti gli n>k
analogamente, se bn ha limite b, esiste un numero h per cui |bn-b|< ε' per tutti gli n>h
quindi, per tutti gli n>max{k,h}, devono valere sia |an-a|< ε' che |bn-b|< ε'
adesso usa la disuguaglianza triangolare con x=an-a e y=bn-b, scoprendo che...
Esercizio: usa la disuguaglianza triangolare per dimostrare il
Teorema della differenza dei limiti:
se an ha limite a e bn ha limite b, allora la successione cn = an - bn ha limite a-b.
In altre parole, il limite della differenza è uguale alla differenza dei limiti (se questi esistono e sono finiti)
Traccia della dimostrazione:
sia ε>0 un numero positivo, e sia ε' = ε/2
se an ha limite a, esiste un numero k per cui |an-a|< ε' per tutti gli n>k
analogamente, se bn ha limite b, esiste un numero h per cui |bn-b|< ε' per tutti gli n>h
quindi, per tutti gli n>max{k,h}, devono valere sia |an-a|< ε' che |bn-b|< ε'
adesso usa la disuguaglianza triangolare con x=an-a e y=bn-b, scoprendo che...
Esercizio: usa la disuguaglianza triangolare per dimostrare il
Teorema del prodotto dei limiti:
se an ha limite a e bn ha limite b, allora la successione cn = an bn ha limite ab.
In altre parole, il limite del prodotto è uguale al prodotto dei limiti (se questi esistono e sono finiti)
Traccia della dimostrazione:
sia ε>0 un numero positivo, chiama ε' = ε/(2|b|) e ε" =ε/(2(|a|+ ε') . Ambedue sono positivi.
se an ha limite a, esiste un numero k per cui |an-a|< ε' per tutti gli n>k
usa la disuguaglianza triangolare con x=a e y= an-a, e dimostra che |an|<|a|+ε'
analogamente, se bn ha limite b, esiste un numero h per cui |bn-b|< ε" per tutti gli n>h
quindi, per tutti gli n>max{k,h}, devono valere sia |an-a|< ε' che |bn-b|< ε"
adesso usa la disuguaglianza triangolare con x = anbn - anb e y= anb - ab, scoprendo che...
Esercizio: usa la disuguaglianza triangolare per dimostrare il
Teorema del limite del reciproco:
se an ha limite a≠0, allora la successione bn = 1/an ha limite 1/a.
In altre parole, il limite dei reciproci è uguale al reciproco del limiti (se questo esiste, è finito e diverso da 0)
Traccia della dimostrazione:
sia ε>0 un numero positivo, e sia ε' = ε a2/(1+|a|ε)
nota che puoi riscrivere la relazione precedente come ε = ε' /(|a|(|a|-ε')
se an ha limite a, esiste un numero k per cui |an-a| < ε' per tutti gli n>k
|bn - 1/a| si riscrive come |1/an - 1/a| = |an - a|/(|a||an|) < ε'/(|a||an|) per tutti gli n>k
ora dimostra che (per n>k) |an| > |a|-ε' usando la disuguaglianza triangolare con x=an e y=a - an.
quindi 1/|an| < 1/(|a|-ε')
Sostituendo nella stima al punto 4 e utilizzando la relazione al punto 2., ...
Esercizio: dimostra il
Teorema dei due carabinieri:
se an e cn sono due successioni che hanno lo stesso limite l, e bn è una terza successione che gode della proprietà an ≤ bn ≤ cn, allora anche bn ha limite l.
Traccia della dimostrazione:
sia ε>0 un numero positivo.
se an ha limite l, esiste un numero k per cui |an-l|< ε per tutti gli n>k
analogamente, se cn ha limite l, esiste un numero h per cui |cn-l|< ε per tutti gli n>h
quindi, per tutti gli n>max{k,h}, devono valere sia |an-l|< ε che |cn-l|< ε
ora ho 2 possibilità:
bn < l, e allora |bn - l| = l - bn ≤ l - cn < ε
bn ≥ l, e allora ...
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