Formula di sottrazione del coseno

Consideriamo due versori a e b. Chiamiamo α e β gli angoli che a e b formano rispettivamente con il versore dell'asse x.

Supponendo ad es β > α , l'angolo compreso tra i due versori sarà δ = β - α.

Per definizione di seno e di coseno, le coordinate cartesiane di questi due versori saranno

a = (cos α, sen α)

b = (cos β, sen β)

Chiamiamo ⃗c = b - a e calcoliamo il modulo di questo vettore:

• Primo metodo:

Per il teorema di Carnot,

|c|² = 1 + 1 - 2cos δ = 2 - 2 cos(β - α)

• Secondo metodo:

Utilizzando le coordinate cartesiane,

⃗c = (cos β - cos α , sen β - sen α)

e dunque

|c|² = c²_x + c²_y = (cos β - cos α)² + (sen β - sen α)² =

cos² β + cos² α - 2 cos β cos α + sen² β + sen² α - 2 sen β sen α

Utilizzando la relazione fondamentale della trigonometria,

|c|² = 1 + 1 - 2 cos β cos α - 2 sen β sen α

Se il risultato ottenuto con il primo metodo deve essere uguale a quello ottenuto con il secondo, vuol dire che

Questa formula è nota come formula di sottrazione del coseno. Devi impararla a memoria e saper ripetere la sua dimostrazione.

Confronta la dimostrazione qui sopra con quella del video e con quella a pag 25 del libro.

Utilizzando la tabella qui sotto e/o i risultati degli esercizi per il 10/12 e per il 14/12,

• da 27 a 29 pag 113

• utilizzando la formula di sottrazione del coseno, calcola

  • cos 15° [suggerimento: 15° = 45° - 30°]

  • cos 75°

  • cos 105°

  • cos 195°

  • cos 120°

  • cos(-30°)