Dall'oscillatore verticale al grave

Tre sistemi fisici a confronto

Abbiamo discusso la conservazione in 3 diversi sistemi fisici:

• 1. il grave, cioè un sistema in cui un corpo è sottoposto alla sola forza peso

  2. il pendolo, cioè un sistema in cui oltre alla forza peso abbiamo un filo che costringe il corpo a muoversi su una circonferenza

  3. l'oscillatore verticale, cioè un sistema in cui oltre alla forza peso abbiamo la forza esercitata da una molla a cui il corpo è appeso.

L'oscillatore verticale

Per il caso dell'oscillatore, abbiamo capito che l'energia si può scrivere come somma di una parte cinetica e di una parte potenziale. Infatti, con un'opportuna scelta delle scale del grafico posizione-velocità, il sistema si muove lungo una circonferenza. L'equazione della circonferenza dice che la somma della velocità al quadrato (misurata in opportune unità) e del quadrato della distanza dalla posizione di equilibrio (anche questa in opportune unità) è uguale al raggio al quadrato.

L'energia cinetica è risultata quindi essere proporzionale alla velocità al quadrato. Per convenzione, i fisici hanno scelto di definirla come

K=½ m v²,

dove m è la massa del corpo appeso alla molla.

Il termine potenziale invece sarà proporzionale al quadrato della distanza dalla posizione d'equilibrio:

U=½ k (x-x₀)²,

dove k è una costante che dipende dalla molla (detta costante elastica della molla). Se cambiamo la molla mettendone una con k più grande, servirà più energia per avere lo stesso spostamento. L'energia potenziale, a differenza dell'energia cinetica, dipende dalla forza.

Grave e pendolo

Torniamo agli altri due sistemi. Anche qui possiamo sperare di esprimere l'energia meccanica come somma di una parte cinetica e di una parte potenziale. E anche qui il sistema può trasformare una parte dell'energia potenziale in energia cinetica e viceversa, facendo però in modo che l'energia totale rimanga costante.

Siccome le forze cambiano da sistema in sistema, ci aspettiamo che l'energia potenziale sia diversa da sistema a sistema.

Ma cosa ne è dell'energia cinetica?

Il video qui a fianco mostra che grave e pendolo convertono nello stesso identico modo la differenza di quota in velocità, cioè l'energia potenziale in energia cinetica.

Sarà la stessa energia cinetica dell'oscillatore verticale? Ricordiamo che nell'oscillatore verticale, l'energia cinetica non dipende da k. Siccome se prendo k piccolissimo è praticamente come se la molla non ci fosse, possiamo pensare che l'espressione

K=½ m v²

sia valida in ogni sistema fisico.

L'energia dei gravi

Tornando all'oscillatore verticale, si può verificare sperimentalmente che il punto x₀ è il di equilibrio tra la forza peso mg e la forza esercitata dalla molla, che si può esprimere come -k x, dove k è la costante elastica della molla e x è l'allungamento della molla stessa.

La codizione di equilibrio è dunque

mg = kx₀

da cui ricaviamo

x₀ = mg/k.

Sostituendo nell'espressione dell'energia meccanica totale, otteniamo

E = ½ m v² + ½ k (x-mg/k)² =

= ½ m v² + ½ kx² - mgx + m²g²/(2k)

L'ultimo termine non dipende né da x né da v, possiamo quindi portaralo a primo membro e scrivere la conservazione della quantità E' = E - m²g²/(2k):

E' = ½ m v² + ½ kx² - mgx

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