Circuitazione

Post date: May 17, 2019 5:59:13 PM

Il campo elettrico

Abbiamo già detto che il campo elettrico ⃗E è un campo conservativo.

Questo vuol dire che esiste una funzione V delle coordinate (x,y,z) di un punto le cui derivate lungo le direzioni degli assi danno le componenti E_x, E_y ed E_z del vettore campo elettrico.

Per essere più precisi, dovremmo introdurre le derivate parziali (il che peraltro non sarebbe difficile).

Ma possiamo dare una definizione equivalente:

un campo è conservativo se l'integrale lungo qualsiasi circuito chiuso del campo moltiplicato scalarmente per lo spostamento è nullo.

Questo integrale si chiama circuitazione.

Trovi la dimostrazione di questa equivalenza a pag 809 del libro

Il campo magnetico

Il campo magnetico non è conservativo.

Per verificarlo, prendiamo la situazione più semplice:

prendiamo un filo rettilineo infinito percorso da una corrente i e andiamo a calcolare la circuitazione del campo B = μ₀ i /(2πr) su una circonferenza di raggio r su un piano ortogonale al filo e centrata sul filo.

Il campo è uniforme e parallelo al filo, quindi la circuitazione Γ sul percorso che abbiamo scelto è semplicemente dato dal prodotto tra campo e lunghezza della circonferenza.

Γ = 2πr B = μ₀ i

Siccome Γ è diverso da 0, il campo magnetico non è conservativo.

Ma c'è un'altra straordinaria proprietà che emerge da questo calcolo: Γ non dipende dal raggio della circonferenza su cui facciamo la circuitazione!

Ma allora potremmo deformare il cammino facendo una semicirconferenza di raggio r, poi spostandoci radialmente su una semicirconferenza di raggio r' per tornare indietro radialmente e chiudere il percorso da dove eravamo partiti. Nei tratti radiali di questo percorso, il prodotto scalare tra campo e spostamento è nullo, e quindi la circuitazione non cambia. E' facile convincersi che possiamo deformare il cammino come meglio vogliamo. Se il cammino gira intorno al filo, la circuitazione sarà sempre μ₀ i.

E' una situazione molto simile a quella del teorema di Gauss per il campo elettrico: lì il flusso attraverso una superficie chiusa era uguale alla carica racchiusa divisa ε₀; qui la circuitazione su un circuito chiuso è uguale a μ₀ per la corrente totale concatenata al circuito.