Forme indeterminate

Post date: Nov 22, 2018 2:4:49 PM

Somma dei limiti

Il teorema della somma dei limiti non si può applicare nel caso "∞ - ∞".

In questo caso parliamo di forma indeterminata di tipo "∞ - ∞".

Questo non vuol dire che il limite non esiste, ma soltanto che non siamo nelle ipotesi giuste per applicare il teorema della somma.

Dobbiamo tornare indietro e usare idee più sofisticate.

Prodotto dei limiti

Il teorema del prodotto dei limiti non si può applicare nel caso "0 · ∞".

In questo caso parliamo di forma indeterminata di tipo "0 · ∞".

Questo non vuol dire che il limite non esiste, ma soltanto che non siamo nelle ipotesi giuste per applicare il teorema del prodotto.

Dobbiamo tornare indietro e usare idee più sofisticate.

Esempi:

Somma

• 1. La funzione x² - x è la somma di una funzione che tende a +∞ e di una che tende a -∞. Il teorema della somma dei limiti non si può applicare perché otterremmo "∞ - ∞". Essendo una parabola con concavità verso l'alto, sappiamo che il limite è +∞

  2. Anche la funzione x - x² è la somma di una funzione che tende a +∞ e di una che tende a -∞, e anche qui il teorema della somma dei limiti non si può applicare perché otterremmo "∞ - ∞". Ma questa è una parabola con concavità verso il basso e quindi il limite è +∞

  3. Anche la funzione (x+1) - x è la somma di una funzione che tende a +∞ e di una che tende a -∞, e anche qui il teorema della somma dei limiti non si può applicare perché otterremmo "∞ - ∞". Ma questa funzione è sempre uguale a 1, e dunque il suo limite è 1

Prodotto

• 1. La funzione x² · 1/x è il prodotto di una funzione che tende a +∞ e di una che tende a 0. Il teorema del prodotto dei limiti non si può applicare perché otterremmo "0 · ∞". Ma semplificando vediamo che la funzione è uguale a x, quindi il suo limite è +∞

1. Anche la funzione x · 1/x² è il prodotto di una funzione che tende a +∞ e di una che tende a 0, e anche qui il teorema del prodotto dei limiti non si può applicare perché otterremmo "0 · ∞". Ma semplificando vediamo che la funzione è uguale a 1/x, quindi il suo limite è 0

2. Anche la funzione x · 1/x è il prodotto di una funzione che tende a +∞ e di una che tende a 0, e anche qui il teorema del prodotto dei limiti non si può applicare perché otterremmo "0 · ∞". Ma semplificando vediamo che la funzione è sempre uguale a 1, e dunque il suo limite è 1