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Nel 1637, alla notizia dell’imminente pubblicazione della Geometrie di Cartesio, Fermat, che pochi mesi prima aveva duramente criticato la Dioptrique, prima ancora che venisse pubblicata (aveva ottenuto una copia di straforo), scrisse del suo metodo a padre Mersene, che coordinava un circolo di matematici parigini. Tuttavia non giustificò i suoi risultati, limitandosi ad applicare il metodo in alcuni esempi.
Scrive Enrico Giusti: “occorreva dunque una buona disposizione per accettare la bontà di un metodo appena abbozzato, e come si sa la pazienza non era tra le principali doti di Descart”. Cartesio contrattaccò duramente, e sfidò Fermat a trovare la tangente alla curva (non una funzione) di equazione x³+y³ = p xy (folium di Cartesio). Quando Fermat riuscì nell’impresa, Cartesio dovette riconoscere una certa bontà nel metodo del rivale.
L’idea di Fermat funziona particolarmente bene con le funzioni polinomiali: supponiamo che y(t) sia un polinomio in t e cerchiamo di calcolare la pendenza della retta tangente nel punto di ascissa t=τ: Consideriamo un secondo punto, di ascissa τ+h e la retta secante che passa per i punti di coordinate (τ, y(τ)) e (τ+h, y(τ+h)). Il coefficiente angolare di questa retta è evidentemente
m=(y(τ+h)-y(τ))/h
Siccome y(t) è un polinomio, è facile vedere che y(τ+h) - y(τ) è sempre divisibile per h. L’idea di Fermat è quella di fare questa divisione e poi imporre che h sia uguale a zero, facendo coincidere i due punti e “trasformando la retta secante in una retta tangente”.
Supponiamo ad esempio che y(t) = t³ e che τ=2. Otteniamo il coefficiente angolare della retta secante
m = (y(τ+h)-y(τ))/h = (τ³+3τ²h+3τh²+h³-τ³)/h = 3τ²+3τh+h²
Se adesso vogliamo il coefficiente angolare della retta tangente, dobbiamo solo prendere h=0, ottenendo m = 3τ² = 12.
Il punto chiave è che i termini senza la h nel secondo passaggio si cancellano; si capisce che questo succede anche se cambiamo la potenza 3 con un’altra o se invece di un monomio consideriamo un polinomio.
Si dimostra facilmente che la retta trovata da Fermat ha, nel punto di coordinate (τ,y(τ)), un’intersezione almeno doppia con la curva in esame, e dunque è proprio la retta tangente.
L’idea funziona non solo con tutte le funzioni polinomiali ma anche con un discreto numero di funzioni trascendenti. Non è però del tutto generale e costringe chi voglia utilizzarlo a destreggiarsi con le divisioni, cosa che porta spesso a calcoli inutilmente complicati.
Per quanto ci riguarda, l’interesse nell'approccio di Fermat è quello di aver posto l’attenzione sulla quantità
m = (y(τ+h)-y(τ))/h = ∆y/∆t
(che chiamiamo “rapporto incremetale”) quando h si annulla.
Operativamente:
scrivi ∆y/∆t
effettua la divisione
calcola il risultato quando h=0
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