Somma e prodotto dei limiti

Post date: Mar 03, 2021 12:10:38 PM

Teorema della somma dei limiti:

se a(x) ha limite a  e b(x) ha limite b, allora la successione c(x) = a(x) + b(x) ha limite a+b.

In altre parole, il limite della somma è uguale alla somma dei limiti (se questi esistono e sono finiti)

Traccia della dimostrazione:  

• • sia ε>0 un numero positivo, e sia ε' = ε/2

  • se a(x) ha limite a, esiste un numero k per cui |a(x)-a|< ε'  per tutti gli x>k

  • analogamente, se b(x) ha limite b, esiste un numero h per cui |b(x)-b|< ε'  per tutti gli n>h

  • quindi, per tutti gli n>max{k,h}, devono valere sia |a(x)-a|< ε'  che |b(x)-b|< ε'

  • adesso usa la disuguaglianza triangolare con x=a(x)-a  e y=b(x)-b, scoprendo che

|c(x) - (a+b)| = |a(x)-a + b(x)-b| ≤  |a(x)-a| + |b(x)-b| < 2ε' = ε

Come Volevasi Dimostrare

Esercizio:  usa la disuguaglianza triangolare per dimostrare il

Teorema del prodotto dei limiti:

se a(x) ha limite a  e b(x) ha limite b, allora la successione c(x) = a(x)  b(x) ha limite ab.

In altre parole, il limite del prodotto è uguale al prodotto dei limiti (se questi esistono e sono finiti)

Traccia della dimostrazione:  

• • sia ε>0 un numero positivo, chiama ε' = ε/(2|b|) e ε" =ε/(2(|a|+ ε')).  Ambedue sono positivi.

  • se a(x) ha limite a, esiste un numero k per cui |a(x)-a|< ε'  per tutte le x>k

  • usa la disuguaglianza triangolare con x=a e y= a(x)-a, e dimostra che |a(x)|<|a|+ε' 

  • analogamente, se b(x) ha limite b, esiste un numero h per cui |b(x)-b|< ε"  per tutti gli n>h

  • quindi, per tutti gli n>max{k,h}, devono valere sia |a(x)-a|< ε'  che |b(x)-b|< ε"

  • adesso usa la disuguaglianza triangolare con x = a(x)b(x) - a(x)b e y= a(x)b - ab, scoprendo che

|c(x)-ab| = |a(x)b(x) - a(x)b + a(x)b - ab| ≤  |a(x)b(x) - a(x)b| + |a(x)b - ab| = |a(x)||b(x) - b| + |b||a(x) - a| < 

|a(x)|ε" + |b|ε'

e usando le definizioni di ε' ed ε" insieme alla disuguaglianza |a(x)|<|a|+ε' , trovi

|c(x)-ab| < (|a|+ε') ε/(2(|a|+ ε')) + |b|ε/(2|b|) = ε

Come Volevasi Dimostrare