Post date: Nov 25, 2018 9:31:13 AM
[da leggere dopo "gli specchi curvi"]
Nella figura qui accanto, il raggio che incide secondo la direttrice O'B viene riflesso lungo la stessa retta, mentre il raggio che incide lungo la direttrice BO viene riflesso simmetricamente rispetto all'asse ottico (tratteggiato).
I due raggi riflessi si incontrano nel punto B', dove (se non c'è sfocamento) viene focalizzata l'immagine.
Nota che i punti sorgente che giacciono sull'asse ottico devono avere immagine sull'asse ottico, mentre, per tutti gli altri, sorgente e immagine sono da parti opposte dell'asse ottico. L'immagine reale risulta quindi capovolta., a differenza di quanto accade per le immagini virtuali, prodotte dallo specchio piano, dallo specchio convesso e dallo specchio concavo nel caso di sorgenti vicine.
Qual è la posizione del punto B'? Dette PB e PB'' le proiezioni dei punti B e B'' sull'asse ottico, notiamo che i triangoli B-PB-O'e B'-PB'-O' sono due triangoli rettangoli simili perché hanno un angolo acuto opposto al vertice.
Anche i triangoli B-PB-O e B'-PB'-O sono simili, perché hanno l'angolo acuto uguale per la legge della riflessione.
Queste similitudini assicurano che
|B PB|/|B' PB'|=|O PB|/|O PB'|
e che
|B PB|/|B' PB'|=|O' PB|/|O' PB'|.
Detta s=|O PB| la distanza tra O e la proiezione di B sull'asse ottico, s'=|O PB'| la distanza tra O e la Proiezione di B' e r=|O O'| il raggio della sfera, otteniamo
s/s' = (r-s)/(s'-r)
cioè
s(s'-r)=s'(r-s)
da cui
2 s s' = r (s+s')
Dividendo per 2 r s s' si ottiene l'equazione dello specchio sferico
2/r = 1/s + 1/s'
che permette di capire a che distanza si forma l'immagine conoscendo la distanza della sorgente e il raggio della sfera.
Di solito si preferisce scrivere questa equazione in termini della lunghezza focale f = |O F|, che è definita come la distanza tra il fuoco e lo specchio ed equivale alla metà del raggio.
L'equazione diventa allora
1/f = 1/s + 1/s'
e viene usata non solo per gli specchi sferici ma per tutti i sistemi ottici che possono essere approssimati con delle sfere.
Ingrandimento
Il rapporto s'/s è (per la prima delle due equazioni di similitudine scritte sopra) uguale al rapporto tra la distanza B' PB' e la distanza B PB e ha quindi il significato di ingrandimento dovuto allo specchio.
Infatti, lo specchio ingrandisce di m=s'/s volte se B' PB' =m * B PB.
L'ingrandimento è maggiore di 1 (cioè l'immagine appare più grande della sorgente) se s' > s, cioè se
1/s' < 1/s
usando l'equazione dello specchio sferico otteniamo
1/f - 1/s < 1/s
cioè
1/f < 2/s
e quindi
s < 2f.
Quindi l'mmagine è ingrandita se la sorgente si trova tra il fuoco e il centro dello specchio (ricorda che r = 2f), altrimenti viene rimpicciolita. Controlla questa conclusione con il foglio geogebra qui sotto, dopo aver portato lo slider a al valore 0,2.
Istruzioni:
Puoi muovere il punto B per spostare la sorgente;
lo slider a=1/r permette di variare la curvatura dello specchio;
lo slider h permette di variare l'apertura del fascio di luce;
la casella di controllo "immagine dale centro" permette di visualizzare la situazione quando l'osservatore visualizza il riflesso che proviene dalla zona centrale dello specchio;
la casella di controllo "immagine parassiale" permette di visualizzare i raggi usati nella costruzione del punto immagine parassiale;
la casella di controllo "triangoli simili" permette di visualizzare i triangoli usati per derivare l'equazione dello specchio sferico;
per avvicinare o allontanare l'osservatore, su può trascinare il punto rosa davanti all'occhio.
Controlla anche se le conclusioni qui sopra si applicano anche alle sorgenti vicine, quando l'immagine è virtuale e non reale.
vale l'equazione dello specchio sferico?
l'immagine è dritta o capovolta?
Qui sotto trovi allegati alcuni file Geogebra che ti permettono di usare il modello "ottica geometrica" per analizzare vari specchi curvi. La sequenza con cui li abbiamo visti in classe è:
Specchio piano: introduciamo il concetto di immagine
Specchio ellittico: esistono solo due specchi curvi che producono l'immagine perfetta di un punto sorgente, ma persino in quel caso, questa proprietà vale solo per i fuochi; in tutti gli altri casi c'è sfocamento.
Specchio sferico: capiamo perché in certi casi l'immagine è rovesciata e in altri no; guardando due raggi particolari ricaviamo l'equazione focale.
Specchio parabolico: studiamo come l'immagine venga distorta.