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Nel 1637, quando, nella sua Géométrie, Cartesio propose di studiare sistematicamente le curve con i nuovi metodi della geometria analitica, si appassionò particolarmente al problema delle tangenti, "il problema più utile e generale, non solo tra quelli che conosco, ma anche tra quelli che ho mai desiderato conoscere in Geometria".
Diciamo subito che il metodo proposto da Cartesio era inutilmente complicato: consisteva nell'approssimare la curva con una circonferenza per poi sfruttare il fatto che in una circonferenza la tangente è perpendicolare al raggio. Il punto debole consiste nel fatto che approssimare una curva con una circonferenza è un problema più difficile che non approssimare la stessa con la retta tangente.
Come suo solito, Cartesio inviò il manoscritto della Géométrie a padre Mersenne a Parigi, con la precisa indicazione di non farlo arrivare a Fermat, con il quale Cartesio era già in feroce polemica per via delle critiche alla diottrica.
Mersenne non rispettò le volontà di Cartesio e Fermat, ricevuto il manoscritto, si affrettò a pubblicare un suo metodo, molto più efficiente, per trovare la retta tangente, senza però dare spiegazione alcuna delle ragioni per cui il metodo funziona.
Il metodo si basa sul "rapporto incrementale" ed è particolarmente semplice da applicare per le curve polinomiali, cioè i grafici dei polinomi.
Fermat scrisse del suo metodo a padre Mersene. Tuttavia non giustificò i suoi risultati, limitandosi ad applicare il metodo in alcuni esempi.
Scrive Enrico Giusti: “occorreva dunque una buona disposizione per accettare la bontà di un metodo appena abbozzato, e come si sa la pazienza non era tra le principali doti di Descart”. Cartesio contrattaccò duramente, e sfidò Fermat a trovare la tangente alla curva (non una funzione) di equazione x³+y³ = p xy (folium di Cartesio). Quando Fermat riuscì nell’impresa, Cartesio dovette riconoscere una certa bontà nel metodo del rivale.
L’idea di Fermat funziona particolarmente bene con le funzioni polinomiali: supponiamo che y(t) sia un polinomio in t e cerchiamo di calcolare la pendenza della retta tangente nel punto di ascissa t=τ: Consideriamo un secondo punto, di ascissa τ+h e la retta secante che passa per i punti di coordinate (τ, y(τ)) e (τ+h, y(τ+h)). Il coefficiente angolare di questa retta è evidentemente
m=(y(τ+h)-y(τ))/h
Siccome y(t) è un polinomio, è facile vedere che y(τ+h) - y(τ) è sempre divisibile per h. L’idea di Fermat è quella di fare questa divisione e poi imporre che h sia uguale a zero, facendo coincidere i due punti e “trasformando la retta secante in una retta tangente”.
Supponiamo ad esempio che y(t) = t³ e che τ=2. Otteniamo il coefficiente angolare della retta secante
m = (y(τ+h)-y(τ))/h = (τ³+3τ²h+3τh²+h³-τ³)/h = 3τ²+3τh+h²
Se adesso vogliamo il coefficiente angolare della retta tangente, dobbiamo solo prendere h=0, ottenendo m = 3τ² = 12.
Il punto chiave è che i termini senza la h nel secondo passaggio si cancellano; si capisce che questo succede anche se cambiamo la potenza 3 con un’altra o se invece di un monomio consideriamo un polinomio.
Si dimostra facilmente che la retta trovata da Fermat ha, nel punto di coordinate (τ,y(τ)), un’intersezione almeno doppia con la curva in esame, e dunque è proprio la retta tangente.
L’idea funziona non solo con tutte le funzioni polinomiali ma anche con un discreto numero di funzioni trascendenti. Non è però del tutto generale e costringe chi voglia utilizzarlo a destreggiarsi con le divisioni, cosa che porta spesso a calcoli inutilmente complicati.
Per quanto ci riguarda, l’interesse nell'approccio di Fermat è quello di aver posto l’attenzione sulla quantità
m = (y(τ+h)-y(τ))/h = ∆y/∆t
(che chiamiamo “rapporto incremetale”) quando h si annulla.
Operativamente, il metodo di Fermat consiste in tre passi:
scrivi ∆y/∆t
effettua la divisione
calcola il risultato quando h=0
MetodoFermat.wavGenerato automaticamente da NotebookLM il 18/11/24. Da questa pagina e da "Dalla Géométrie al calcolo: il problema delle tangenti e le origini del calcolo infinitesimale" di Enrico Giusti.
Con qualche inesattezza storica dovuta al knowledge database di NotebookLM.
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