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Post date: Mar 05, 2016 2:45:58 PM
Il postulato d'ordine ci permette di distinguere l'interno dall'esterno di un segmento. Per fare una cosa analoga con altre figure, siano piane o solide, non possiamo usare un assioma di ordinamento.
Se proviamo a dare una definizione di interno di una figura qualsiasi basandoci sugli assiomi che abbiamo già introdotto, ci accorgiamo che è impossibile.
Serve un altro postulato, che corrisponda all'idea di separare i punti da una parte di un "confine" da quelli dall'altra parte.
Postulato 5 (di partizione del piano)
Postulato 5 (di partizione del piano)
Una retta divide un piano in cui giace in due parti (dette semipiani) non vuote in modo tale che
se i punti A e B appartengono ad un semipiano, allora l'intero segmento AB non interseca la retta;
se i punti C e D appartengono a due semipiani diversi, allora CD interseca la retta
Vedi la figura 16 a pag 717 del libro.
Teorema: Se i punti A e B si trovano in due semipiani diversi di uno stesso piano π, allora ogni poligonale che va da A a B e giace interamente in π interseca la retta che genera i semipiani.
Dimostrazione:
Chiamiamo πA il semipiano che contiene A. Numeriamo i segmenti che costituiscono la poligonale, partendo da quello con estremo in A per finire in quello con estremo in B. Le ipotesi ci assicurano dell'esistenza di questa sequenza, perché una poligonale è appunto una sequenza di segmenti consecutivi.
Consideriamo il primo segmento PQ che ha l'estremo finale Q nel semipiano πB di B. Questo esiste, perché almeno B è nel semipiano πB per ipotesi.
L'estremo iniziale P di questo segmento non è nel semipiano πB per costruzione, perché P è l'estremo finale del segmento precedente. Infatti una poligonale è fatta di segmenti consecutivi e PQ è il primo dei segmenti a finire in πB.
Ma allora
o P è sulla retta,
oppure PQ interseca la retta che genera i semipiani per il postulato 5.
Quod Erat Demostrandum
Nota che una delle affermazioni della dimostrazione, è vera per costruzione... Cosa significa?
Per fare la dimostrazione noi abbiamo aggiunto degli elementi di cui l'enunciato non parlava (nel nostro caso una particolare numerazione dei segmenti che formano la poligonale).
Questi elementi aggiuntivi hanno delle proprietà che poi utilizziamo nella dimostrazione (nel nostro caso usiamo la proprietà del segmento PQ di avere un estremo in un semipiano e uno nell'altro).
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