Geometria 4: assiomi di appartenenza

Post date: Jan 30, 2019 1:6:33 PM

Detto che vogliamo parlare di punto e retta, dobbiamo cominciare a dire qualcosa sulle proprietà che caratterizzano questi due enti. E cominciamo chiarendo subito cosa intendiamo per appartenenza.

Ricorda che il nostro scopo è quello di assumere un numero minimo di assiomi e usarli per dimostrare tutte le altre proprietà che avrà il nostro modello.

Per prima cosa, vogliamo dire che gli elementi dello spazio sono punti e che le rette sono particolari insiemi di punti.

Assioma A.0 di appartenenza:

A.0.piano: Il piano è l'insieme di tutti i punti

A.0.retta: La retta è un sottoinsieme del piano

Notazione: Diremo che “un punto appartiene ad una retta” se è contenuto (in senso insiemistico) in essa. Con lo stesso significato, useremo espressioni come “il punto è su una retta” “il punto giace su una retta” o “la retta contiene il punto”.

Il simbolo di appartenenza è ∈ :

A ∈ r si legge “A appartiene ad r”.

Siccome siamo nel caso della geometria piana, un punto o una retta appartengono sempre al piano.

Per evitare situazioni banali, popoliamo la nostra geometria di un numero sufficiente di punti.

Assioma A.nb di non banalità:

A.nb.retta: La retta contiene (almeno) due punti

A.nb.piano: Il piano contiene (almeno) tre punti non allineati (cioè che non sono sulla stessa retta)

Fino ad ora, non abbiamo chiesto molto al nostro modello. Sulla base dell'assioma A.0 non possiamo nemmeno dire che le rette esistono.

Cominciamo quindi ad inserire un contenuto geometrico: seguendo le orme di Euclide, facciamo una richiesta molto concreta: che due punti si possano sempre congiungere con una linea retta (primo postulato di Euclide).

Assioma A.r della retta per due punti:

Notazione: Indichiamo con il simbolo AB l'unica retta che contiene i punti A e B.

Esercizio svolto: dimostra che il piano contiene almeno tre rette

dimostrazione

• • per l'assioma A.nb.piano, esistono almeno tre punti non allineati

  • con tre punti, possiamo formare tre coppie diverse (lasciando fuori uno dei tre punti)

  • per l'assioma A.r.esistenza, ad ognuna di queste tre coppie corrisponde una retta

  • per costruzione, essendo i tre punti non allineati, ognuna di queste tre rette deve lasciar fuori un punto diverso, e quindi le tre rette non coincidono l'una con l'altra.

L'assioma A.r consiste di due affermazioni distinte: “la retta esiste” e “la retta è unica”. I simboli che i matematici usano sono rispettivamente ∃ (esiste) e ! (è unico). Il simbolo ∀ si legge invece per ogni, cosicché possiamo scrivere in simboli l'assioma A.r come

A.r: ∀ A,B ∃! AB

che si legge “per ogni (coppia di punti) A e B, esiste ed è unica la retta AB che li contiene”.

Un altro modo popolare di esprimere l'assioma A.r in un unico enunciato è

“Due punti distinti individuano una e una sola retta.”

L'assioma di esistenza A.r.esistenza assicura che il piano non abbia dei buchi. L'assioma di unicità A.r.unicità, esprime invece una proprietà di tipo Euclideo: per rendertene conto, risolvi il seguente esercizio:

Esercizio: Considera per un momento la geometria sulla sfera terrestre, che abbiamo visto non essere euclidea.

• 1. È vero che si può andare camminando (o nuotando) in linea retta tra due punti qualsiasi della superficie terrestre?

  2. E il percorso è unico?

  3. Diciamo che il punto A è il Polo Nord; trova un punto B sulla superficie terrestre in modo che esistano infiniti cammini in linea retta che congiungono A con B.

Con gli assiomi di appartenenza abbiamo cominciato a mettere a fuoco le proprietà che i nostri enti fondamentali “punto” e “retta” devono avere nel nostro modello. “Punto” e “retta” non sono più due nomi vuoti, ma ancora siamo lontani dall'aver formulato un numero di assiomi sufficienti a caratterizzare la geometria euclidea.

Esercizio svolto: dimostra che ogni punto appartiene almeno ad una retta

Dimostrazione: chiamo A il punto dato

• • l'assioma A.nb.piano assicura che esista un punto B oltre A

  • l'assioma A.r.esistenza assicura che esista la retta AB

Gli assiomi di appartenenza da soli costituiscono un sistema assiomatico davvero minimale. Si adattano ad un gran numero di situazioni ma non si può dimostrare gran che sulla loro base.

Continua...