Regole grafiche

Cerchiamo di disegnare un grafico qualitativo del comportamento di una funzione, inserendo le caratteristiche principali.

Dopo aver studiato dominio e segno (che rappresentiamo cancellando le zone di piano cartesiano dove sappiamo non passare il grafico della funzione), inseriamo le intersezioni con gli assi e i comportamenti ai margini del dominio (o degli intervalli che compongono il dominio).

L'idea di base è che quando la x si avvicina ai margini del dominio, f(x) può avvicinarsi ad un dato valore oppure diventare grandissima o piccolissima.

A titolo di esempio, studiamo qualche caso particolare, che ci fornirà delle regole grafiche empiriche, da approfondire quando studieremo i limiti:

Continuità

Provvisoriamente, diciamo che una funzione è continua se può essere disegnata senza staccare la matita dal foglio.

Le funzioni più comuni (polinomi, radici, potenze, esponenziali, logaritmi, seno, coseno) sono continue nel loro campo di esistenza.

Anche le funzioni fratte, che pure hanno dei "punti di discontinuità", possono essere disegnate staccando la matita solo in corrispondenza di questi punti di discontinuità, cioè sono continue all'interno degli intervalli in cui si suddivide il loro dominio.

Ad esempio, la funzione f(x) = 1/(x²-1) ha come dominio x ≠ ±1.

Questo dominio è l'unione di tre intervalli:

(-∞,-1) ,
(-1,1) e
(1,∞) ,

in ognuno dei quali la funzione è continua e può essere disegnata senza alzare la matita.

Zeri

Per rappresentare le intersezioni con l'asse delle ascisse, ci rifacciamo allo studio del segno che abbiamo già completato. Per ogni punto di intersezione,

se la funzione cambia segno passando da negativa a positiva, disegniamo un segno /
se la funzione cambia segno passando da positiva a negativa, disegniamo un segno \
se la funzione è positiva sia prima che dopo il punto di intersezione, disegniamo un segno ∪
se la funzione è negativa sia prima che dopo il punto di intersezione, disegniamo un un segno ∩

Continuiamo tracciando dei segni ai margini dei vari intervalli in cui possiamo scomporre il dominio. In ognuno di questi tracceremo un segno in alto, in basso o vicino all'asse x a seconda del comportamento della funzione quando si avvicina al margine. Se ad esempio, al crescere di x la funzione cresce indefinitamente, indichiamo questo comportamento con un tratto sul margine alto a destra del foglio; se al crescere di x la funzione diventa in modulo sempre più piccola, rappresenteremo la cosa con un tratto vicino all'asse x e così via. Analizziamo i casi più comuni:

Margine sinistro e margine destro del grafico

Disegneremo in corrispondenza dei margini

Per polinomi e radici

Disegna un tratto in corrispondenza del margine alto o basso a seconda del segno già studiato

Per esponenziali

Se l'esponente ha segno positivo, disegna un segno vicino all'asse x al margine sinistro e un segno nel margine alto (o basso, secondo lo studio del segno) a destra.

Se l'esponente ha segno negativo, disegna un segno nel margine alto (o basso, secondo lo studio del segno) a sinistra e un segno vicino all'asse x al margine destro

Per logaritmi

Disegna un segno nel margine alto (o basso, secondo lo studio del segno e del dominio)

Per funzioni fratte

Si tratta di decidere se per x molto grande, cresce di più il numeratore o il denominatore. Nel primo caso, la funzione diventerà in modulo molto grande, nel secondo grado diventerà in modulo molto piccola (cioè molto vicina a zero).

Consideriamo solo il "termine dominante", cioè quello che diventa più grande, del numeratore e del denominatore: in un polinomio, domina il monomio di grado massimo; gli esponenziali con esponente positivo dominano su tutti i monomi; tutti dominano sui logaritmi.

Confrontiamo il termine dominante del numeratore e del denominatore:

Se il numeratore domina sul denominatore, tracciamo un segno in alto o in basso secondo lo studio del segno
Se il denominatore domina sul numeratore, tracciamo un segno vicino all'asse x

Polinomio (x² - 1) x² (x + 2)²

Esponenziale

Logaritmo

Funzione fratta (domina il numeratore)

Funzione fratta (domina il denominatore)

Margini interni del dominio

Studiando il dominio delle funzioni fratte, i logaritmi e le radici, ci troviamo ad escludere alcuni valori o alcune regioni dal campo di esistenza. Vogliamo rappresentare il comportamento della funzione all'avvicinarsi alle regioni di non esistenza.

Radici di ordine pari

In questo caso calcola esattamente il valore della funzione quando l'argomento della radice si annulla e rappresenta il punto nel grafico cartesiano

Funzioni fratte

Abbiamo escluso dal dominio i punti in cui il denominatore si annulla, cioè una divisione per zero. Siccome il risultato di una frazione corrisponde al numero di volte in cui il denominatore entra nel numeratore, dividendo per un numero di modulo piccolissimo, si ottiene un numero di modulo grandissimo.

Traccia un segno in alto (o in basso secondo lo studio del segno) accanto alla retta che delimita il dominio.

Logaritmi

Il logaritmo è l'esponente a cui si deve elevare la base per ottenere l'argomento. Se l'argomento è un numero piccolissimo, dobbiamo elevare la base ad un esponente di modulo grandissimo (il segno dell'esponente dipende dal fatto che la base sia maggiore o minore di 1). Come già fatto per le funzioni fratte,

Traccia un segno in alto (o in basso secondo lo studio del segno) accanto alla retta che delimita il dominio.

Frazioni di logaritmi

I logaritmi, quando l'argomento si avvicina a zero, dominano su ogni altra funzione.

Se il numeratore domina sul denominatore, traccia un segno in alto (o in basso secondo lo studio del segno) accanto alla retta che delimita il dominio.

Se il denominatore domina sul denominatore, traccia una croce in corrispondenza del punto di ordinata 0 sulla retta che delimita il dominio.

Radice

Funzione fratta

Logaritmo

Frazioni di logaritmi

Uniamo i puntini

Cerchiamo di tracciare il grafico qualitativo unendo i segni tracciati con linee continue, senza staccare la matita dal foglio a meno di cambiare regione del dominio.

Page updated

Google Sites

Report abuse