G1: primi assiomi di appartenenza

Post date: Feb 20, 2020 1:36:48 PM

Detto che vogliamo parlare di punto e retta, dobbiamo cominciare a dire qualcosa sulle proprietà che caratterizzano questi due enti. E cominciamo chiarendo subito cosa intendiamo per appartenenza.

Ricorda che il nostro scopo è quello di assumere un numero minimo di assiomi e usarli per dimostrare tutte le altre proprietà che avrà il nostro modello.

Per prima cosa, vogliamo dire che gli elementi dello spazio sono punti e che le rette sono particolari insiemi di punti.

Assioma A.0 di appartenenza:

A.0.piano: Il piano è l'insieme di tutti i punti

A.0.retta: La retta è un sottoinsieme del piano

Notazione: Diremo che “un punto appartiene ad una retta” se è contenuto (in senso insiemistico) in essa. Con lo stesso significato, useremo espressioni come “il punto è su una retta” “il punto giace su una retta” o “la retta contiene il punto”.

Il simbolo di appartenenza è ∈ :

A ∈ r si legge “A appartiene ad r”.

Siccome siamo nel caso della geometria piana, un punto o una retta appartengono sempre al piano.

Per evitare situazioni banali, popoliamo la nostra geometria di un numero sufficiente di punti.

Assioma A.nb di non banalità:

A.nb.retta: La retta contiene (almeno) due punti

A.nb.piano: Il piano contiene (almeno) tre punti non allineati (cioè che non sono sulla stessa retta)