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Post date: Mar 30, 2017 10:21:56 AM
Tre sistemi fisici a confronto
Tre sistemi fisici a confronto
Abbiamo discusso la conservazione in 3 diversi sistemi fisici:
il grave, cioè un sistema in cui un corpo è sottoposto alla sola forza peso
il pendolo, cioè un sistema in cui oltre alla forza peso abbiamo un filo che costringe il corpo a muoversi su una circonferenza
l'oscillatore verticale, cioè un sistema in cui oltre alla forza peso abbiamo la forza esercitata da una molla a cui il corpo è appeso.
L'oscillatore verticale
Per il caso dell'oscillatore, abbiamo capito che l'energia si può scrivere come somma di una parte cinetica e di una parte potenziale. Infatti, con un'opportuna scelta delle scale del grafico posizione-velocità, il sistema si muove lungo una circonferenza. L'equazione della circonferenza dice che la somma della velocità al quadrato (misurata in opportune unità) e del quadrato della distanza dalla posizione di equilibrio (anche questa in opportune unità) è uguale al raggio al quadrato. L'energia cinetica è risultata quindi essere proporzionale alla velocità al quadrato. Per convenzione, i fisici hanno scelto di definirla come
K=½ m v2,
dove m è la massa del corpo appeso alla molla.
Il termine potenziale invece sarà proporzionale al quadrato della distanza dalla posizione d'equilibrio:
U=½ k (x-x0)2,
dove k è una costante che dipende dalla molla (detta costante elastica della molla). Se cambiamo la molla mettendone una con k più grande, servirà più energia per avere lo stesso spostamento. L'energia potenziale, a differenza dell'energia cinetica, dipende dalla forza.
Grave e pendolo
Torniamo agli altri due sistemi. Anche qui possiamo sperare di esprimere l'energia meccanica come somma di una parte cinetica e di una parte potenziale. E anche qui il sistema può trasformare una parte dell'energia potenziale in energia cinetica e viceversa, facendo però in modo che l'energia totale rimanga costante.
Siccome le forze cambiano da sistema in sistema, ci aspettiamo che l'energia potenziale sia diversa da sistema a sistema.
Ma cosa ne è dell'energia cinetica?
Il video qui a fianco mostra che grave e pendolo convertono nello stesso identico modo la differenza di quota in velocità, cioè l'energia potenziale in energia cinetica.
Sarà la stessa energia cinetica dell'oscillatore verticale? Ricordiamo che nell'oscillatore verticale, l'energia cinetica non dipende da k. Siccome se prendo k piccolissimo è praticamente come se la molla non ci fosse, possiamo pensare che l'espressione
K=½ m v2
sia valida in ogni sistema fisico.
Conservazione nel moto uniformemente accelerato.
Conservazione nel moto uniformemente accelerato.
Studiando sperimentalmente il moto dei gravi, siamo giunti alla conclusione che hanno un moto uniformemente accelerato:
v(t) = - g t,
dove l'accelerazione g è detta "accelerazione di gravità", e il segno meno è dovuto al fatto che la velocità è diretta verso il basso perché il grave scende.
Usando il linguaggio degli oeratori somma e differenza, abbiamo concluso che per un moto uniformemente accelerato la posizione varia nel tempo secondo la legge
x(t) = x0 - ½ g t2
Su questa base, possiamo dimostrare che c'è una legge di conservazione dell'energia in questo sistema:
Teorema:
Se
1) v = - g t
e
2) x = x0 - ½ g t2
allora
E = ½ mv2 + mgx .
dimostrazione:
invertendo l'equazione 1),
t= -v/g
sostituendo nell'equazione 2),
x = x0 - ½ g (-v/g)2
cioè
x = x0 - ½ v2/g.
Moltiplicando per mg, otteniamo
mgx = mgx0 - ½ mv2.
Trasportando l'ultimo termine arriviamo a
½ mv2 + mgx = mgx0 .
che è esattamente la legge di conservazione che stavamo cercando, tenuto conto che il membro di destra contiene soltanto quantità costanti e che al tempo t=0, v=0 e x=x0. e che quindi l'energia al tempo 0 è puramente potenziale.
Non è una sorpresa che
K=½ m v2;
scopriamo però che
U(x) = mgx.
La potenza
La potenza
La pendenza dell'energia nel piano energia-tempo, cioè la velocità con cui cambia l'energia, è detta potenza:
se il tempo è discreto (cioè viene scattato un fotogramma ad intervallo δ)
W(t) = (E(t+δ) - E(t))/δ.
La legge di conservazione dell'energia ci dice che nel piano energia-tempo, l'energia è una retta orizzontale di equazione E(t) = E0 cioè una retta di pendenza 0.
La legge di conservazione dell'energia si può anche esprimere dicendo che la potenza totale fornita dal sistema è nulla:
W(t) = 0 per ogni tempo t.
Dalla conservazione dell'energia alla legge di Newton
Dalla conservazione dell'energia alla legge di Newton
Usiamo questa nozione di potenza ricordando che l'energia cinetica è K=½ m v2:
possiamo scrivere
E(t+δ) = ½ m v2(t+δ) + U(x(t+δ))
E(t) = ½ m v2(t) + U(x(t))
dunque la potenza è
W(t) = 0 = ½ m (v2(t+δ) - v2(t))/δ + (U(x(t+δ)) - U(x(t)))/δ
Il primo termine contiene la pendenza di v2 nel tempo; si può dimostrare che in generale questa è uguale a 2 volte il prodotto della velocità per l'accelerazione.
Analogamente, si può mostrare che il secondo termine è il prodotto della velocità per una funzione della posizione, che per adesso indichiamo con F(x)
L'equazione della potenza diventa
W(t) = 0 = v(t) (ma(t)-F(x(t))) ad ogni tempo t.
Siccome in generale v(t) non è nullo, sarà il fattore tra parentesi ad essere sempre nullo. In altre parole, assumendo che valga la conservazione dell'energia, dimostriamo (matematicamente) che
m a(t) = F(x(t)).
Possiamo dire qualcosa su questa misteriosa funzione F?
Il caso del grave
Nel caso del grave, sappiamo che l'accelerazione è una costante, uguale a -g. Quindi anche la F(x) sarà una costante e l'equazione diventa
-mg = F,
che ci dice immediatamente che F è la forza peso.
In generale
Non è difficile convincersi che in generale la funzione F è la forza che agisce sul sistema: nel caso del pendolo, oltre alla forza peso avremo la forza del filo; nel caso della molla, oltre alla forza peso avremo la forza esercitata dalla molla.
La legge di Newton
La legge di Newton
La relazione
F = m a,
dove F è la forza, a l'accelerazione e m la massa è detta "Legge di Newton" o "secondo principio della dinamica".
E' stata formulata nel 1697 da Isaac Newton ed è il cardine della meccanica classica. Ci vorrà ancora quasi un secolo perché si capisca appieno la relazione tra la legge di Newton e la conservazione dell'energia, ma nella seconda metà del 1700, grazie soprattutto allo svizzero Eulero e all'italiano Lagrange, la transizione dal linguaggio delle forze al linguaggio delle energie fu compiuta.
Noi abbiamo seguito quindi un percorso antistorico, partendo dalla conservazione dell'energia per arrivare alla legge di Newton. I motivi di questa scelta sono due:
la piena comprensione della legge di Newton richiede una matematica che non possediamo;
è più facile dimostrare che dalla conservazione dell'energia segue la legge di Newton che non il viceversa.
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