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Post date: Oct 02, 2017 12:7:45 PM
Significato di "definitivamente"
Significato di "definitivamente"
Diciamo che la successione an gode definitivamente della proprietà A, se tutti gli elementi della successione con n abbastanza grande godono della proprietà A.
In altre parole, tutti gli elementi della lista a partire da una riga in poi godono della proprietà A.
O anche, Ǝ k tale che Ɐ n>k an gode della proprietà A.
Esercizio svolto:
Dimostra che an= (n+3)/n2 è minore di 1/1000 definitivamente.
dim:
Per ogni n≥1, n+3 < 4n, e quindi
(n+3)/n2 < 4n/n2 = 4/n
se dunque n è tale che 4/n < 1/1000, siamo sicuri che anche (n+3)/n2 è minore di 1/1000.
Ma 4/n < 1/1000 equivale a n > 4000 ed è verificata definitivamente, esattamente da n=4001 in poi.
Esercizio svolto:
Dimostra che an= n/(n-5)2 è minore di 1/10 definitivamente.
dim:
Per ogni n ≥ 6, n-5 > n/6, e quindi
n/(n-5)2 < 36 n/n2 = 36/n
se dunque n ≥ 6 è tale che 36/n < 1/10, siamo sicuri che anche n/(n-5)2 è minore di 1/10.
Ma 36/n < 1/10 equivale a n > 360, implica n > 6, ed è verificata definitivamente.
dimostra che an= (n+3)/n è minore di 2 definitivamente
dimostra che an= (n2+3)/n è maggiore di 100 definitivamente
dimostra che per ogni R>0, an= (n2+3)/n è maggiore di R definitivamente
dimostra che Ɐ ε>0 , tale che an= n/(n2+3)< ε definitivamente
dimostra che Ɐ ε>0 , Ǝ k tale che an= n2/(n3+3)< ε per ogni n > k
dimostra che an = (n+3)/n, ha come limite 1.
dimostra che an = (2n+1)/(4n-1), ha come limite 1/2.
dimostra che an = (n+3)/n2, ha come limite 0.
dimostra che an = 10-n, ha come limite 0.
dimostra che an = (-10)-n ha come limite 0.
dimostra che Ǝ k tale che an= (1+1/n)n > 2 per ogni n > k (difficile)
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