L'unicità del limite

se a_n ha limite a e a_n ha limite a', allora a=a'

• • supponi per assurdo che a≠a'

  • scegli ε = |a-a'|/4; se a≠a' allora ε>0 .

  • ma se ε>0 e se a_n ha limite a, allora esiste un numero k per cui |a_n-a|< ε per tutti gli n>k

  • analogamente, se a_n ha limite a', esiste un numero k' per cui |a_n-a'|< ε per tutti gli n>k'

  • quindi, per tutti gli n>max{k,k'}, devono valere sia |a_n-a|< ε che |a_n-a'|< ε

  • ma usando la disuguaglianza triangolare con x=a_n-a e y=a'-a_n, scopri che

|a-a'| = |x+y| ≤ |x|+|y| = |a_n-a|+|a_n-a'| < 2ε = |a-a'|/2

ma questo è assurdo perché il numero positivo |a-a'| non può essere minore della propria metà.