Sfide e giochi matematici

Per secoli l'uomo, volente o nolente, si è dovuto confrontare con la matematica: dalla geometria all'architettura, dalla balistica allo studio degli astri, dalla probabilità all'informatica. "La matematica è l'alfabeto nel quale Dio ha scritto l'Universo" - direbbe Galileo. Ed ora è arrivato il vostro turno! Quindi, cosa aspettate? Mettetevi alla prova e cercate di risolvere gli indovinelli che il Liceale vi propone! E, se non ci riuscite, potete sempre leggere le soluzioni...

Lorenzo Fanfani, 5^C

QUESITO N°1 - LIVELLO FACILE

Due navi da crociera salpano nello stesso momento: la prima, partita da Genova e diretta a Barcellona, viaggia a 30 km/h; la seconda, partita da Barcellona e diretta a Genova, viaggia a 40 km/h. Sapendo che entrambe percorrono la stessa rotta, quanto distano l’una dall’altra mezz’ora prima che si incontrino?

SOLUZIONE

A primo impatto, l’indovinello potrebbe risultare di difficile risoluzione, non conoscendo la distanza tra Genova e Barcellona. Tuttavia, con un semplice ragionamento, la risoluzione diventa immediata. La nave salpata da Genova percorre 30 km in un’ora; ciò significa che, mezz’ora prima di incrociare l’altra nave, disterà 15 km dal punto di incontro. Analogamente, la nave salpata da Barcellona disterà 20 km da questo stesso punto. La distanza totale tra le due navi sarà, quindi, 20+15=35 km.

QUESITO N°2 - LIVELLO MEDIO

Nell’immaginario comune, le ombre non hanno grande utilità pratica: un tempo venivano usate nelle meridiane per stabilire l’ora, ma si tratta di invenzioni che, con l’avvento delle moderne tecnologie, hanno perso la loro diffusione. Forse, però, non tutti sanno che più volte le ombre sono state sfruttate dai matematici per affrontare problemi altrimenti irrisolvibili.

Il primo a servirsene fu il filosofo e matematico greco Talete: leggenda narra che il faraone in persona gli chiese di misurare l’altezza della piramide di Cheope (in figura OV), utilizzando solamente un bastone. Talete, piantato il bastone per terra, aspettò che l’ombra proiettata dai raggi del sole (BP) e la sua lunghezza (AB) fossero di egual misura. Dopodiché, immaginando che lo stesso dovesse valere anche per la piramide, fu in grado di determinarne l’altezza, misurando la distanza tra la proiezione del vertice sul terreno (il punto O) e l'estremità dell'ombra della piramide (il punto P). Si noti, infatti, che i triangoli OPV e ABP sono simili e vale, quindi, la relazione:

OV : OP = AB : PB = 1, da cui si ricava che OV = OP.

Ancora più geniale fu l’uso che ne fece il matematico Eratostene, il primo in grado di stimare la circonferenza della Terra: egli sapeva che a mezzogiorno del solstizio d’estate, a Siene (attuale Assuan), i raggi del sole cadevano perpendicolari al terreno. Attraverso la misurazione delle ombre, determinò, poi, l’inclinazione dei raggi solari in quello stesso momento ad Alessandria, e, conoscendo la distanza tra le due città, riuscì, attraverso una semplice proporzione, a calcolare la circonferenza della Terra.

In entrambi i casi, si tratta di problemi facilmente risolvibili con l’uso delle funzioni goniometriche, ma che, per l’epoca, erano al limite dell’impossibile. Ma veniamo ora al nostro quesito: qual era l’inclinazione dei raggi del sole rispetto all’orizzontale, ovvero, con riferimento alla figura, l’angolo VPO, quando Talete misurò l’altezza della piramide? Supponendo, poi, che in quel giorno il sole sorgesse alle 5.00 e tramontasse alle 21.00, percorrendo, quindi, il suo moto apparente di 180° in 16 ore, quando dev’essere avvenuto l’esperimento?

Suggerimento: nell'arco della giornata il sole percorre una semicirconferenza. L'angolo di inclinazione dei raggi, che colpiscono il terreno, corrisponde all'angolo che sottende l'arco di semicirconferenza, percorso dal sole fino a quel momento. Infatti, allo zenit (il punto in cui il sole raggiunge la sua massima altezza, a metà tra l'alba e il tramonto) i raggi del sole cadranno perpendicolari al terreno, mentre all'alba saranno paralleli, dal momento che il tragitto percorso dal sole è nullo.

SOLUZIONE

Al momento della realizzazione dell’esperimento, l’altezza della piramide (OV) e la lunghezza dell’ombra (OP) erano uguali. Di conseguenza, il loro rapporto, che per definizione è la tangente dell’angolo VPO, sarà stato 1. Quindi:

VPO = arctan(1) = 45°

Sapendo, poi, che il sole percorre il suo moto apparente di 180° in 16 ore, si ricava che, per percorrere 45°, impiegherà 4 ore. Dal momento che non è specificato se la misurazione avvenga prima o dopo lo zenit, può essere che il sole si trovi 45° (ovvero 4 ore) dopo l’alba o 45° prima del tramonto. Di conseguenza, saranno o le 9.00 di mattina o le 17.00 di sera.

QUESITO N°3 - LIVELLO DIFFICILE

È data la seguente proprietà: “La somma dei primi n numeri dispari è uguale a n²”. Infatti:

1 = 1 =1²

1 + 3 = 4 = 2²

1 + 3 + 5 = 9 = 3²

1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4²

E così via. Ricordando che l’n-esimo numero dispari può essere pensato come 2n-1, e che la somma dei numeri (sia pari che dispari) da 1 ad n è n(n+1)/2, dimostrare la proprietà sopra enunciata.

SOLUZIONE

Se l’n-esimo numero dispari può essere pensato come 2n-1, allora 1 (il primo numero dispari) può essere pensato come 2*1-1, 3 come 2*2-1, 5 come 2*3-1 e così via. La somma S dei primi n numeri dispari diventa, quindi:

S = (2*1 - 1) + (2*2 - 1) + (2*3 - 1) + ... + (2n - 1)

Che può anche essere scritta come:

S = (2*1 + 2*2 + 2*3 + ... + 2n) + (- 1 - 1 - 1 ... - 1)

Raccogliendo all’interno della prima parentesi il numero 2 e all’interno della seconda il segno “-”, si ottiene:

S = 2*(1 + 2 + 3 + ... + n) - (1 + 1 + 1 + ... + 1)

La prima parentesi, essendo la somma di tutti i numeri tra 1 e n, si può riscrivere come n(n+1)/2. La seconda come n: infatti, ci saranno tanti 1 quanti sono i numeri dispari che si desidera sommare. Quindi:

S = 2n(n + 1)/2 - n

S = n(n + 1) - n

S = n² + n - n

S = n²