Sfide e giochi matematici
Fin dall'alba dei tempi abbiamo testimonianze di indovinelli in grado di stimolare l'intelletto. Nel corso dei secoli tutti i più grandi matematici - da Fermat ad Einstein - si sono cimentati nell'invenzione di problemi e quesiti in grado di appassionare generazioni di studenti. Per questo anche il Liceale ha deciso di dotarsi di una rubrica dedicata. Buona fortuna!
L.F., 4^C
QUESITO N°1 - LIVELLO FACILE:
Accadde un giorno che un contadino fannullone, sempre stanco e senza voglia di lavorare, incontrò un mercante di ritorno dall’Oriente. «Caro contadino,» cominciò il mercante «credo di avere qualcosa che faccia al caso tuo. Li vedi questi fagioli? Sono magici! Ogni volta che ne sotterrerai uno, crescerà immediatamente una pianta. Ciascuna di queste piante ti darà altri 3 fagioli, che potrai piantare di nuovo, e in poco tempo avrai ceste e ceste piene di fagioli.» «Davvero?» «C’è però una condizione. Ad ogni semina dovrai darmi 27 fagioli come ricompensa.». Il contadino accettò, piantò i fagioli e con immenso stupore si accorse che il mercante diceva la verità. Lo pagò, come concordato, e si rimise a seminare. Anche questa volta i fagioli triplicarono. Ne diede altri 27 al mercante e piantò una terza volta quelli che gli erano rimasti. Dopo la terza raccolta, tuttavia, il contadino si accorse di avere solo 27 fagioli, che fu costretto a consegnare al mercante, il quale partì facendosi una gran risata. Morale della favola: mai fidarsi degli sconosciuti. Quanti fagioli ha seminato il contadino la prima volta?
SOLUZIONE:
Il quesito può essere risolto impostando una serie di equazioni: chiamato x il numero di fagioli iniziali, dopo la prima semina il contadino si troverà ad avere un numero di fagioli y tale che: y=3x-27. Allo stesso modo, dopo la seconda semina il numero di fagioli sarà z tale che: z=3y-27. Dopo la terza semina, il numero di fagioli rimasti al mercante sarà 3z-27, che dovrà essere - come si deduce dal problema - uguale a zero. Risolvendo le equazioni a ritroso, si ottiene che z=9, y=12 e infine x=13.
QUESITO N°2 - LIVELLO MEDIO:
Due maratoneti iniziano contemporaneamente una seduta di allenamento, partendo dai due estremi di un tragitto rettilineo lungo 40 chilometri, che percorrono in direzioni opposte, in modo tale da incontrarsi a metà esatta. Nel momento in cui il maratoneta 1 inizia a correre, dalla sua spalla spicca il volo una mosca che percorre il tragitto sopra illustrato nella stessa direzione del maratoneta 1, fino ad incontrare il maratoneta 2. A quel punto la mosca cambia direzione e torna indietro, fino ad incontrare nuovamente il maratoneta 1. La mosca continua a fare avanti e indietro tra i due maratoneti finché questi non si incontrano. Supponendo che i due corridori mantengano una velocità costante di 10 km/h e che la mosca viaggi al doppio della loro velocità, quanta strada avrà percorso la mosca nel momento in cui i due maratoneti si incontrano?
SOLUZIONE:
A primo impatto il problema può sembrare difficile da risolvere: calcolare tutti i pezzi di tragitto che la mosca percorre e poi sommarli assieme è sicuramente la via più immediata per trovare la soluzione, ma di certo non la più semplice e nemmeno la più veloce. Basta infatti pensare che, nel momento in cui si incontrano, poiché procedono con la stessa velocità, i corridori avranno percorso 20 dei 40 chilometri totali a testa. Per compiere tale tragitto, procedendo con una velocità di 10 km/h, impiegheranno due ore. In quest’arco di tempo, se la mosca procede con velocità doppia rispetto ai corridori (cioè 20 km/h), percorrerà 40 chilometri totali.
QUESITO N°3 - LIVELLO DIFFICILE:
Sommando al numeratore e al denominatore della frazione ⅓ il suo denominatore 3, si ottiene il doppio della frazione di partenza. Trovare una frazione che diventa n volte quella iniziale se al numeratore e al denominatore viene sommato il denominatore stesso. La frazione deve essere espressa in funzione di n.
SOLUZIONE:
Si consideri una generica frazione a/b e si sommi al numeratore e al denominatore il denominatore stesso. Si ottiene così il rapporto (a+b)/2b. Il problema può, quindi, essere risolto ponendo questo rapporto uguale a n*a/b e risolvendo l’equazione: (a+b)/2b=n*a/b. La soluzione dell’equazione è: b=(2n-1)a. Sostituendo questo risultato nella frazione di partenza a/b si ottiene 1/(2n-1), cioè una qualsiasi frazione unitaria, con denominatore dispari.