Il segreto del valore assoluto

Ogni passione sboccia in un preciso momento. Ogni intuizione ha il suo spunto. Ogni dimostrazione ha le sue ipotesi. Tutto ha un inizio. Anche noi quest’anno vogliamo intraprendere una nuova esperienza alla scoperta del mondo matematico e scientifico. Queste discipline spaventano molti studenti, eppure è possibile vederle sotto una luce diversa: ecco perché la nostra rubrica si propone di presentarvi alcuni argomenti scientifici da una prospettiva più piacevole. “La matematica è il gioco più bello del mondo. Assorbe più degli scacchi, scommette più del poker, e dura più di Monopoli. È gratuita. E può essere giocata ovunque.” (Richard J. Trudeau). "È armonia, è magia, è poesia! È regolarità! Ti farà vedere il creato da fuori! È questa la potenza della matematica: ci credi anche se non l'hai mai vista!" (Il nostro Prof, colui che prende il grano e lo trasforma in farina...)

L'ultima sfida matematica che ci ha proposto il nostro professore è stata quella di provare a dimostrare un teorema di algebra utilizzato di consueto in un solo ambito, ma in realtà generalizzabile in più situazioni. Alcuni di noi si sono divertiti a costruire la dimostrazione, anche con approcci differenti; in questo numero vi vogliamo presentare questa nostra avventura. Il doppio teorema da dimostrare si può esprimere analiticamente così:

|f(x)| ≥ g(x) ⇒ f(x) ≤ -g(x) ∨ f(x) ≥ g(x)

|f(x)| ≤ g(x) ⇒ -g(x) ≤ f(x) ≤ g(x)

Se siete studenti del triennio, sicuramente questa scrittura vi risulterà familiare. Eppure, solitamente, nei manuali scolastici viene riportata solo in un particolare caso, che si riferisce alla situazione in cui g(x) è un numero noto positivo (generalmente indicato con k).

"Ma come? Il teorema si può anche generalizzare? E perché, allora, i libri ce lo tengono segreto?" Chissà... Per noi il "gioco" è stato proprio quello di cercare di dimostrare la validità di questo teorema anche per generici g(x). Alcuni sono riusciti a cimentarsi nella dimostrazione, presentandola dal punto di vista dei calcoli e passaggi analitici; uno di noi è riuscito anche a conferirle una veste più formale, con l'aggiunta di commenti e spiegazioni, che trovate in fondo all'articolo.

Come per ogni dimostrazione, siamo partiti con l'obiettivo di generalizzare un'intuizione per tutti i casi possibili (cosa che solo la matematica e le altre materie scientifiche permettono di fare) e, attraverso ragionamenti comprensibili ma non banali, siamo arrivati alla soluzione, dimostrando ciò che i libri evitano di fare.

Noi abbiamo trovato questa sfida molto stimolante. E voi? Avete mai provato a svolgere questa dimostrazione? Sia che vi siate già cimentati in questo, sia che non ne abbiate mai avuto l'occasione, date un occhio al nostro svolgimento: questo teorema potrebbe sempre tornarvi utile quando i calcoli si faranno più difficili!

E voi cosa ne pensate delle materie scientifiche? Fatecelo sapere in tanti, studenti e insegnanti di ogni materia e indirizzo del nostro liceo, rispondendo al sondaggio che riceverete prossimamente.

R.G., J.M. e N.S., 3^D