Sfide e giochi matematici
Per secoli l'uomo, volente o nolente, si è dovuto confrontare con la matematica: dalla geometria all'architettura, dalla balistica allo studio degli astri, dalla probabilità all'informatica. "La matematica è l'alfabeto nel quale Dio ha scritto l'Universo" - direbbe Galileo. Ed ora è arrivato il vostro turno! Quindi, cosa aspettate? Mettetevi alla prova e cercate di risolvere gli indovinelli che il Liceale vi propone! E, se non ci riuscite, potete sempre leggere le soluzioni...
Lorenzo Fanfani, 5^C
QUESITO N°1 - LIVELLO FACILE
Quello rappresentato in figura è un rettangolo aureo, ovvero un rettangolo le cui dimensioni sono basate sul rapporto aureo. Nel rettangolo BCQP vale la proporzione:
Per costruire il rettangolo aureo, si parte dal quadrato ABCD. Si individua il punto medio M di AB e lo si congiunge a D. Puntando il compasso in M con apertura MD, si individua il punto P, come l’incrocio tra l’arco di circonferenza e il prolungamento del lato AB. Utilizzando il disegno qui proposto, riuscite a calcolare il rapporto aureo (BP/PQ)? Suggerimento: il rapporto aureo è indipendente dalla lunghezza del lato del quadrato ABCD. Potete, dunque, chiamare L il lato AB e ricavare BP e PQ in funzione di L, in modo tale che, nel momento in cui calcolate il rapporto, si semplifichi L.
SOLUZIONE
Per costruzione PQ=AD=AB=L, DM=PM e BM=AM=L/2. Il rapporto aureo, solitamente indicato con la lettera Φ, potrà quindi essere scritto come:
Occorrerà, quindi, solamente ricavare PM per ricavare il valore di Φ. PM, essendo congruente a DM, può essere immaginato come l’ipotenusa del triangolo rettangolo AMD. Il suo valore sarà, dunque:
Sostituendo PM all’interno della prima equazione si ottiene:
QUESITO N°2 - LIVELLO MEDIO
I numeri compleanno sono dei numeri ottenuti accostando le cifre del giorno di nascita con quelle del mese di nascita: ad esempio, chi è nato il 14 Novembre avrà come numero compleanno 1411. Per il calcolo dei numeri compleanno non si tiene conto degli zeri anteposti ai numeri, come talvolta accade quando si scrivono le date: i nati il 2 Giugno non avranno, quindi, come numero compleanno 0206, ma semplicemente 26. I numeri compleanno di due e quattro cifre presentano una lettura univoca: nei numeri di due cifre la prima rappresenterà il giorno e la seconda il mese, mentre in quelli di quattro cifre le prime due rappresenteranno il giorno e le altre il mese. Esistono, però, alcuni numeri compleanno di tre cifre che presentano una doppia lettura e possono essere pensati o in modo che la prima cifra si riferisca al giorno e le altre due al mese, o in modo che le prime due si riferiscano al giorno e la terza al mese. Riuscite a individuarli?
SOLUZIONE
La seconda e la terza cifra dei numeri compleanno di doppia lettura dovranno individuare un mese. Poiché gli unici mesi individuati da due numeri sono Ottobre (decimo mese dell’anno), Novembre (undicesimo) e Dicembre (dodicesimo), si può dedurre che la seconda cifra dovrà per forza essere un 1 e la terza uno 0, un 1, o un 2. Contemporaneamente la prima e la seconda cifra dovranno individuare un giorno. La seconda cifra, come abbiamo detto, è sicuramente un 1, mentre la prima può essere un 1, un 2, o un 3 (non esistono, infatti, mesi da 41 giorni!). Le combinazioni possibili sono: 110, 111, 112, 210, 211, 212, 310, 311, 312. Poiché non esiste il mese 0, i numeri 110, 210 e 310 potranno essere letti solo come 1, 2 e 3 Ottobre. Allo stesso modo, non esistendo il 31 Febbraio, il numero 312 potrà essere letto unicamente come 3 Dicembre. I numeri compleanno dalla doppia lettura sono, quindi: 111 (1/11 o 11/1), 112 (1/12 o 11/2), 211 (2/11 o 21/1), 212 (2/12 o 21/2) e 311 (3/11 o 31/1).
QUESITO N°3 - LIVELLO DIFFICILE
Leggenda narra che a soli nove anni al matematico Carl Friedrich Gauss e ai suoi compagni di classe fu chiesto dal loro maestro, infastidito dal rumore e dalla confusione dei suoi alunni, di sommare per punizione tutti i numeri naturali da 1 a 100. Dopo pochi minuti, il giovane Gauss riuscì a dare la risposta corretta: “5050!” disse. Interrogato dal maestro su come avesse fatto a risolvere il problema così in fretta, rispose di essersi accorto che 100+1=101, così come 2+99=101, 3+98=101 e via dicendo. Aveva allora semplicemente fatto 101x50 (avendo 100 numeri da sommare le coppie sarebbero state la metà), trovando la risposta corretta. Si può dimostrare che la somma S dei numeri naturali compresi tra 1 e n è:
Riuscite a trovare una formula che esprima la somma di tutti i numeri naturali compresi tra due generici valori a e b con a>b? Suggerimento: pensate alla somma dei numeri tra a e b come la differenza tra la somma dei numeri compresi tra 1 e a e la somma dei numeri compresi tra 1 e il numero precedente a b, ovvero b-1.
SOLUZIONE
Come spiegato nel suggerimento, la somma dei numeri tra a e b può essere pensata come la differenza tra la somma dei numeri compresi tra 1 e a e la somma dei numeri compresi tra 1 e il numero precedente a b, ovvero b-1. Utilizzando la formula di Gauss, otteniamo:
Poiché (a²-b²)=(a+b)(a-b):
Raccogliendo a fattor comune (a+b), si ricava l’espressione:
È interessante osservare come imponendo a=n e b=1 nella formula appena trovata (cioè calcolando la somma dei numeri tra 1 e n)...
… si ottenga proprio la formula di Gauss!