Zahlenschlacht

A turno i due giocatori eliminano uno dei numeri. Quando ne rimangono  solo due, il giocatore A (il primo a giocare) vince se la somma dei due numeri è divisibile per 7, altrimenti vince B.

Esiste una strategia vincente per il primo giocatore?

A cancella, come prima mossa, uno dei numeri 1, 8 o 15. Poi, dopo ogni mossa di B, A cancella un numero tale che la somma di entrambi i numeri scelti sia divisibile per 7.

Si utilizza l'aritmetica modulare per ridurre il gioco a un modello matematico. Mappiamo la tabella come residuo modulo 7.

La strategia ottimale consiste nel cancellare uno dei numeri 1, 8 o 15 nella prima mossa. In questo modo viene cancellato un numero con residuo 1 modulo 7.

Dopo questa mossa di A, ciascuno dei 14 residui rimanenti può essere raggruppato in una coppia con un altro residuo in modo tale che la somma di entrambi i residui sia divisibile per 7.

Se, ad esempio, B cancella un numero con residuo 2 modulo 7 (il numero 2 o 9), A cancella un numero con residuo 5 modulo 7 (il numero 5 o 12) perché (2, 5) è una coppia mod-7 . Finché A segue questo schema per ogni mossa di B, è garantito che vengano rimosse solo coppie mod-7 complete, in modo che anche i due residui finali formino una tale coppia. Pertanto, la loro somma è divisibile per 7, il che porta alla vittoria di A. 

Biblio/sitografia

Rammenstein, T. (2025). On the Existence of Optimal Strategies in a Combinatorial Game. arXiv preprint arXiv:2508.00246.