Palle cannone

In diverse antiche fortezze è possibile osservare delle cataste di palle di cannone. Perché sono disposte in questo modo? 

L’oggetto concreto

Il problema nasce con Sir Walter Raleigh, un avventuriero inglese, che propose la questione al matematico Harriot è questa la passò Keplero. La soluzione di Keplero si trova nel testo Strena sue de nive sexangula pubblicato nel 1611. Così scrive Keplero: “Se palle uguali sono sparse nello stesso piano orizzontale e le si spinge l'una contro l'altra così strettamente che si toccano l’un l’altra, esse si disporranno a triangolo oppure quadrato”. Ora, se si procede ad accumulare dei corpi solidi più strettamente possibile e si avanza strato per strato, le palle avranno o una disposizione quadrata oppure triangolare. Nel primo caso la disposizione tridimensionale sarà cubica, ma questa non sarà la disposizione più compatta. Nel secondo modo l'arrangiamento sarà di tipo romboidale. Secondo Keplero questo arrangiamento sarà il più compatto possibile.

Keplero non possedeva una dimostrazione della congettura e numerosi matematici si sono cimentati nel tentativo di fornire una dimostrazione formale. Il matematico Thomas Hales, avvalendosi dell’uso del computer, ha fornito una dimostrazione che viene considerata certa al 99%.

Se alla base si pongono n palle a formare un quadrato e poi si dispongono le altre negli incavi, quante ce ne saranno in 1, 2, 3, 4, …, n strati? Al primo livello (immaginiamo di partire dall'alto) 1, al secondo livello 4, al terzo livello 9, al quarto livello 16, ecc. Sommando i vari risultati avremo la serie 1, 5, 14, 30, …

Per conoscere il numero totale delle palle di cannone si può quindi ricorrere alla seguente formula: 12 + 22 + 32 +… + n2.

È possibile trovare una funzione matematica in grado di stabilire il numero di palle di cannone presenti in una composizione con base n? 

Biblio/sitografia

Ghattas R., Bricologica, Sironi, 2010, pagg. 100-103

http://areeweb.polito.it/didattica/polymath/htmlS/argoment/APPUNTI/TESTI/Mar_02/Cap11.html