Palla di neve

Una palla di neve è un oggetto sferico fatto di neve, solitamente creato raccogliendo la neve fra le mani e compattandola per renderla dura.

L’oggetto concreto

Una palla di neve si sta sciogliendo. Il suo diametro, inizialmente di 10 cm, si riduce con velocità proporzionale alla superficie, e, dopo 5 minuti, il suo diametro misura 6 cm. Dopo quanti minuti il diametro della palla di neve si riduce a 2 cm?

Sia D il diametro della sfera a cui si può approssimare la palla di neve. Sappiamo che la superficie è S = 4 p (D/2)2.

Detta k una costante di cui si dovrà trovare il valore, la velocità di scioglimento è v = k*S, cioè

v = k * 4 * p * (D/2) 2 = k * p * D2

Il decremento della palla di neve è pari al prodotto della velocità e dell'infinitesimo incremento del tempo; in termini di differenziali, si ha

dD = k* p*D2 * dt.

Questa è un'equazione differenziale del primo ordine a variabili separabili. Isoliamo le variabili ed integriamo i due membri

dD / D2 = k * p* dt;

∫dD/D2 = k * p* ∫dt

- 1/D = k * p * t + C

Esplicitando la D in funzione di t si giunge a

Non resta che trovare il valore delle costanti. Possiamo impostare il seguente sistema:

Esplicitando la t in funzione di D si ricava

Non resta che trovare il valore delle costanti. Possiamo impostare il seguente sistema:

con t=0 e t=5 risulta

C = -1/D0 = -1/10

k = (-1/D1 - C) / (p * t1) = -1/ (75*p)

L’espressione del tempo in funzione del diametro è

t = (-1-C*D2) / (D2*k*p) = (750-75*D2) / (10*D2)

Ponendo D2 = 2 si può ricavare che il tempo è 30 minuti.