Palla di neve
Una palla di neve è un oggetto sferico fatto di neve, solitamente creato raccogliendo la neve fra le mani e compattandola per renderla dura.
L’oggetto concreto
Una palla di neve si sta sciogliendo. Il suo diametro, inizialmente di 10 cm, si riduce con velocità proporzionale alla superficie, e, dopo 5 minuti, il suo diametro misura 6 cm. Dopo quanti minuti il diametro della palla di neve si riduce a 2 cm?
Sia D il diametro della sfera a cui si può approssimare la palla di neve. Sappiamo che la superficie è S = 4 p (D/2)2.
Detta k una costante di cui si dovrà trovare il valore, la velocità di scioglimento è v = k*S, cioè
v = k * 4 * p * (D/2) 2 = k * p * D2
Il decremento della palla di neve è pari al prodotto della velocità e dell'infinitesimo incremento del tempo; in termini di differenziali, si ha
dD = k* p*D2 * dt.
Questa è un'equazione differenziale del primo ordine a variabili separabili. Isoliamo le variabili ed integriamo i due membri
dD / D2 = k * p* dt;
∫dD/D2 = k * p* ∫dt
- 1/D = k * p * t + C
Esplicitando la D in funzione di t si giunge a
Non resta che trovare il valore delle costanti. Possiamo impostare il seguente sistema:
Esplicitando la t in funzione di D si ricava
Non resta che trovare il valore delle costanti. Possiamo impostare il seguente sistema:
con t=0 e t=5 risulta
C = -1/D0 = -1/10
k = (-1/D1 - C) / (p * t1) = -1/ (75*p)
L’espressione del tempo in funzione del diametro è
t = (-1-C*D2) / (D2*k*p) = (750-75*D2) / (10*D2)
Ponendo D2 = 2 si può ricavare che il tempo è 30 minuti.
L’oggetto virtuale