Posizionatore di raffineria
L’oggetto concreto
Una società petrolifera riceve il greggio estratto da tre zone nelle quali si trovano tre pozzi, situati rispettivamente nei punti A, B e C della figura.
Il punto A è stato assunto per comodità come origine del sistema di assi cartesiani; le coordinate sono espresse in Km. La società petrolifera vuole costruire una raffineria e deve decidere dove localizzarla in modo da minimizzare i costi di costruzione degli oleodotti. Tali costi risultano proporzionali ai quadrati delle distanze dagli oleodotti. Supponendo la zona pianeggiante, in modo che gli oleodotti possano essere costruiti in linea retta, qual è la localizzazione migliore della raffineria?. Il problema cambia se i costi sono proporzionali alle distanze?
Il primo problema può essere risolto, operando la semplificazione consistente nel considerare solo i radicandi, come un problema di minimo della funzione costituita dalla somma dei quadrati delle distanze della raffineria dai pozzi.
z = (x2 + y2) + ((x - 20)2 + y2) + ((x - 12)2 + (y - 10)2) = 3x2 +3y2 -64x -20y +644
La soluzione sarà x = 32/3, y =10/3, che sono le coordinate del baricentro del triangolo ABC.
Nel secondo problema dobbiamo minimizzare la somma delle distanze dai punti A, B e C, si potrebbe ricorrere ad un modello analogico, ad esempio di legno compensato. Si pratichino dei fori in corrispondenza dei pozzi. Si leghino dei pesi uguali a dei fili abbastanza lunghi. Si facciano passare i fili da sotto nei fori e si colleghino tra loro in un solo nodo. Si posizioni la superficie parallelamente al suolo e si lascino liberi i pesi. La forza di gravità farà tendere i fili (ipotizziamo che l’attrito sia trascurabile!) e il nodo si posizionerà nel punto in cui collocare la raffineria come mostrato in figura.
Biblio/sitografia
Cerasoli M. – Drivet A., Matematica Probabilità Statistica, vol. 3, Zanichelli, 1989, pagg. 39-40, 193