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Achille, simbolo di rapidità, deve raggiungere la tartaruga, simbolo di lentezza. Achille corre dieci volte più svelto della tartaruga e le concede dieci metri di vantaggio. Achille corre quei dieci metri e la tartaruga percorre un metro; Achille percorre quel metro, la tartaruga avanza di un decimetro; Achille percorre quel decimetro, la tartaruga percorre un centimetro; Achille percorre quel centimetro, la tartaruga percorre un millimetro; Achille percorre quel millimetro, la tartaruga si sposta di un decimo di millimetro, e così via all’infinito; di modo che Achille può correre per sempre senza raggiungerla. [Jorge Luis Borges]
L'oggetto concreto
L’autore del paradosso di “Achille e la tartaruga” è il filosofo greco Zenone di Elea, che visse attorno al 500 avanti Cristo nella Magna Grecia. Zenone intendeva sostenere che il movimento non è altro che illusione. Noi sappiamo che un corridore più veloce supererà quello più lento, allora cosa non funziona nel ragionamento?
Da un punto di vista fisico la legge oraria del moto di Achille è xA = vA t, quella della Tartaruga è xT = vT t + d, con d = vantaggio iniziale. Il punto di intersezione delle due rette rappresenta il punto x e l’istante t in cui Achille raggiunge la Tartaruga.
Dal punto di vista dell’analisi matematica la spiegazione sta nel fatto che gli infiniti intervalli impiegati ogni volta da Achille per raggiungere la tartaruga diventano sempre più piccoli, ed il limite della loro somma “converge”.
Con i dati proposti da Borges, Achille raggiunge (e supera) rapidamente la Tartaruga come si può notare dal grafico:
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