Geopiano
Immaginiamo di avere un reticolo di punti, che possiamo immaginare come i vertici di un foglio quadrettato. Seguendo la quadrettatura, che ipotizziamo di lato pari a un cm, in che modo si può racchiudere il maggior numero di caselle di area rettangolare (area massima)?
Tutto dipende dal perimetro, con 24 cm l’area massima si ottiene con i lati a = b = 6, con 26 cm con i lati a = 7 e b = 6. Per impostare il problema in modo empirico possiamo utilizzare un foglio a quadretti oppure costruire uno strumento che abbia il dono della “riusabilità”; questo strumento si chiama Geopiano. Tale sussidio è costituito da una tavoletta di legno sulla quale è disegnato un reticolato i cui nodi sono messi in evidenza con dei chiodini o delle viti; fra essi si possono tendere degli elastici di diverso colore.
L’oggetto concreto
Quanto vale l’area della seguente figura?
Naturalmente si possono usare strategie legate alla scomposizione in figure elementari, di cui si sa calcolare l’area.
In alternativa si può ricorrere al teorema di Pick:
L’area (A) di una figura geometrica i cui vertici siano punti di un reticolo è uguale alla somma del numero dei punti interni (I) e della metà dei punti toccati dal contorno (C) della figura meno un’unità.
A = I + (1/2 * C) - 1
Nell’esempio presentato in figura i punti interni al poligono sono 8, quelli sul contorno 13 e quindi, per il teorema di Pick, la sua area è 8 + 13/2 - 1 = 13,5.
Il Geopiano si può utilizzare in un gran numero di situazioni. Oltre a quello appena visto, si possono impostare problemi di minimo (o di massimo). Per esempio se prendiamo un Geopiano i cui punti siano dei chiodi e utilizziamo una corda di lunghezza ben definita e che rappresenta il perimetro della mia area possiamo chiederci qual è l’area massima che si può racchiudere in quel perimetro. Oppure possiamo decidere che questa corda rappresenta solo la lunghezza di tre lati mentre il quarto, di lunghezza variabile, è vincolato su uno dei lati del Geopiano. In alternativa, possiamo decidere che la nostra figura deve occupare un certo numero di quadratini. Quale sarà la figura con il perimetro più corto?
L’oggetto virtuale
https://apps.mathlearningcenter.org/geoboard/
Biblio/sitografia
Balzarotti G. – Lava P., 103 curiosità matematiche, Hoepli, 2010, pagg. 87-89