Palloncino

L’oggetto concreto

Un palloncino con disegnato un mappamondo può servire per imparare la geografia, ma in questo caso ci interessa l’aspetto matematico del problema.

Consideriamo la superficie di un palloncino-mappamondo. Fissiamo sul mappamondo due punti, in corrispondenza diciamo di New York e Napoli, e chiediamoci qual è il cammino più breve per andare da una città all’altra. Una prima risposta è che il percorso più breve è dato dal segmento che unisce le due città, il che è vero se ci si mette d’accordo sul significato di segmento. Fissiamo un capo di un elastico in corrispondenza di New York e l’altro in corrispondenza di Napoli. Questo si dispone automaticamente lungo la curva di minima lunghezza, individuando così la linea che abbiamo definito segmento, non sorprendentemente ci si accorge che si tratta di una curva.

Che cosa succede se proviamo a unire tre punti sul palloncino? Ci accorgiamo che il teorema di Pitagora nella sua formulazione classica non è più valido nella geometria sulla sfera, la somma degli angoli interni del triangolo non è pari a 180°.

L'autore inglese Edwin Abbot, in un celebre libro del 1884, Flatland, descrive un mondo abitato da creature bidimensionali. Possiamo immaginarle come figure geometriche piane poste sulla superficie di un tavolo. A un certo punto attraversa questo mondo un essere tridimensionale, una sfera. Il protagonista vede questo essere come un punto che si trasforma in una circonferenza che s’ingrandisce e poi rimpicciolisce fino a scomparire.

Potremmo domandarci: quale visione avremmo noi umani, esseri tridimensionali, se entrasse nel nostro mondo una ipersfera quadrimensionale? Il palloncino ci può aiutare a comprendere questo evento: basta provare a gonfiare il palloncino e poi a sgonfiarlo. 

L’oggetto virtuale

http://www.youtube.com/watch?v=THt4D4SvyKQ 

Biblio/sitografia

Abbott E., Flatlandia: storia fantastica a più dimensioni, Adelphi, 2003

http://users.libero.it/prof.lazzarini/geometria_sulla_sfera/geo.htm