Portachiavi

Un oggetto molto comune è il portachiavi, un anello di metallo rigido a cui spesso viene aggiunto un pendaglio ornamentale.

L'oggetto concreto

In questo caso si tratta di un portachiavi con la scritta “Alea Iacta Est”, frase attribuita a Giulio Cesare, che è una locuzione latina che si traduce come "il dado è stato lanciato". Un oggetto strettamente legato alla probabilità! 

Prendendo spunto da questo semplice oggetto possiamo spostare l’attenzione nel campo dei problemi combinatori, esaminando un problema combinatorio proposto in una gara di matematica nel 2016.

Quattro amici si sono stancati dei loro portachiavi e decidono di ridistribuirseli, in modo tale che ciascuno di loro ne abbia uno differente da quello che aveva prima. In quanti modi diversi possono scambiarsi i portachiavi?

La soluzione del problema risulta molto semplificata se si assegna ad ogni portachiavi un numero. Quindi si tratta di permutare i numeri 1, 2, 3, 4 in modo che alla posizione i non compaia il numero i. 

Tecnicamente si tratta di una Dismutazione. In combinatoria vengono dette dismutazioni (Derangement in inglese) le permutazioni di un insieme che non fissano alcun elemento, ovvero tali che nessuno degli elementi dell'insieme iniziale compaia nella sua posizione originaria. Il numero delle dismutazioni è dato da:


Indicando con n! il fattoriale e con e costante di Eulero, base del logaritmo naturale.

A questo punto possiamo facilmente calcolare le nove possibilità. In questo caso la verifica è semplice, i casi sono: 2143, 2341, 2413, 3142, 3421, 3412, 4123, 4312, 4321.

L’aspetto interessante è che, per n→∞, il numero di Dismutazioni si avvicina al reciproco di e.