Uovo sorpresa

L’uovo è spesso utilizzato come contenitore di sorprese, sia nella versione gigante dell’uovo di Pasqua che in quella di ovetto.

L’oggetto concreto

Negli ovetti di cioccolato sono presenti dieci tipi diversi di sorprese. In media quanti ovetti è necessario comprare per avere la serie completa di 10 sorprese?

Per comprendere il problema consideriamo la questione: in media, quanti tiri di un dado sono necessari per ottenere un 6? La probabilità con un tiro è p=1/6, con due tiri è 1/6∙5/6 cioè p∙q (con q=1-p), ecc. In generale:

La media sarà data da m = p + 2pq + 3pq2+ 4pq3 + …

Moltiplicando entrambi i membri per q si ricava mq = pq +2pq2 + 3 pq3 + 4pq4 + …

Sottraendo la seconda espressione dalla prima si ha m – qm = p + pq +pq2 + …

Quindi m (1- q) = 1 ovverosia mp =1 da cui m =1/p.

Per ottenere una sorpresa occorre, evidentemente, acquistare un uovo e la probabilità è 10/10. Per ottenere una sorpresa diversa nel secondo uovo la probabilità è 9/10 quindi bisogna acquistare, mediamente, 1/(9/10) cioè 10/9 uova. Per ottenere un terzo tipo di sorpresa il numero di ovetti necessario sale a 10/8. Proseguendo si avrà: 10/10 + 10/9 + 10/8 + … + 10/1 o, raccogliendo a fattor comune 10 ∙ (1/10+1/9+1/8+…+1).

In generale, indicando con N il numero di sorprese e con O il numero di ovetti da acquistare, possiamo scrivere:

Con n =10 la somma è 29,29. Dovremo quindi comprare in media 30 ovetti per avere la serie completa.

Biblio/sitografia

Mosteller F., Fifty challenging problems in probability, Dover, 1987, pag. 18-19, 29