Scacchi

Gli scacchi sono un gioco da tavolo di strategia che vede opposti due avversari. Si gioca su una tavola quadrata detta scacchiera, composta da 64 case di due colori alternati, sulla quale all'inizio si trovano trentadue pezzi, sedici per ciascun colore: un re, una regina, due alfieri, due cavalli, due torri e otto pedoni. L'obiettivo del gioco è dare scacco matto.

L’oggetto concreto

Gli scacchi possono essere visti, dal punto di vista matematico, in modo diversi. Per esempio una scacchiera è paragonabile ad un reticolo discreto in cui ogni casella è contrassegnata da un'ascissa (lettera) e da un'ordinata (numero).

Descrivendo casella per casella il percorso di ogni pezzo si può enunciare la legge matematica che ne contraddistingue il movimento a partire da una posizione di partenza (a, b).

Ad esempio il Re si muove di una sola casella in tutte le direzioni e si può scrivere: (a, b) --> (a + x, b + y) con -1≤ x ≤ 1,-1 ≤ y ≤1.

Il movimento in diagonale dell'Alfiere può essere invece indicato come: (a, b) --> (a + x, b + y) con x = ± y.

Se prendiamo in considerazione il Cavallo si può scrivere: (a, b) --> (a + x, b + y) con x = ±2y o y = ±2x con le limitazioni –2 ≤ x ≤ 2, -l ≤ y ≤ l o – l ≤ x ≤ l, -2 ≤ y ≤ 2.

Interessante è esaminare se esiste davvero una corrispondenza tra la forza attribuita dalla teoria a ciascun pezzo e la probabilità di aggredire il Re.

Esaminiamo ad esempio il Cavallo (forza 3) immaginando di posizionarlo a caso su una delle 64 caselle della scacchiera, mentre si posiziona il Re avversario in una delle 63 caselle rimanenti.Ci saranno dunque 64 * 63 = 4032 coppie possibili. Ci sono 4 posizioni in cui ogni cavallo può minacciare esattamente 2 caselle, esistono 8 posizioni in cui il cavallo controlla 3 caselle, ne esistono 20 in cui ne controlla 4, 16 in cui ne controlla 6 e altre 16 in cui il cavallo ne controlla 8. Possiamo dire che la probabilità del cavallo è P(C) = (4*2++8*3+20*4+16*6+16*8) / 4032 = 336/4032.

La Torre (forza 6) sarà sempre in grado di minacciare 14 caselle, 7 in orizzontale, 7 in verticale e quindi ci sarebbero 64*14 situazioni. Però se il Re si trova in una casella adiacente alla torre e minacciata da essa potrebbe mangiare la torre e quindi in questo caso si tratta di una probabilità condizionata. Tenendo conto dei vari casi P(T|R) = [(36 * 10) + (24 * 11) + (4 * 12)]/4032 = 672/4032.

Il gioco delle otto regine è un noto problema matematico che coinvolge la posizione di otto regine su una scacchiera 8  ∙8 in modo che nessuna regina si minacci a vicenda tenendo conto che le regine si possono muovere in tutte le direzioni. Il calcolo combinatorio può essere utilizzato per determinare il numero di possibili soluzioni del gioco delle otto regine. Inizialmente, è possibile posizionare la prima regina in una qualsiasi delle 8 colonne. La seconda regina può essere posizionata in una qualsiasi delle 7 colonne rimanenti che non sono minacciate dalla prima regina e così via. Il numero totale di possibili posizioni delle otto regine è quindi dato dal prodotto: 8 ∙ 7 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 40.320. Tuttavia, molte di queste posizioni non sono valide perché le regine si minacciano a vicenda. In particolare, ci sono 92 soluzioni distinte per il gioco delle otto regine su una scacchiera 8 ∙ 8 (Gauss riuscì a trovare 72 delle 92 soluzioni). Se non si tiene conto di rotazioni e riflessioni le 92 soluzioni si riducono a 12. 

L'oggetto virtuale

https://www.chess.com/it/play/computer 

Biblio/sitografia

http://math.unipa.it/~grim/quad16_barzantifabbri_06.pdf

http://areeweb.polito.it/didattica/polymath/htmlS/argoment/Matematicae/Aprile_04/scacchi.html