Ago

L’oggetto concreto

In statistica, il problema dell'ago di Buffon è una questione che risale al 1700: supponiamo di avere una serie di strisce parallele (per esempio un pavimento in parquet), tutte della stessa larghezza, e facciamoci cadere casualmente un ago. Qual è la probabilità che l'ago si trovi su una linea fra le due strisce?

Consideriamo un ago di lunghezza L che viene lasciato cadere su un parquet i cui listelli hanno larghezza d > L. È necessario considerare l’orientamento dell’ago rispetto alle intercapedini e la distanza del centro dell’ago dalla retta più vicina. Indichiamo con α l’angolo che permette di individuare l’orientamento dell’ago rispetto alle rette e con x la distanza del centro dell’ago dalla retta più vicina:

Il triangolo ABC in figura è un triangolo rettangolo, la misura del cateto AB è pertanto pari all’ipotenusa L/2 per il seno dell’angolo α. Affinché l’ago intersechi la retta è necessario che sia x < L/2 sin α, il problema dell’ago di Buffon sarà risolto se si riuscirà a determinare la probabilità.

È possibile disegnare un rettangolo di dimensioni π e d/2 la cui area rappresenta tutte le possibili combinazioni tra l’orientamento dell’ago e la posizione del centro dell’ago sul piano. Le combinazioni favorevoli sono individuate dai punti che si trovano al di sotto della curva di equazione x = L/2 sin α.

utilizzando la definizione classica di probabilità si ottiene:

Quindi, da una verifica sperimentale della frequenza dell'evento si ottiene una stima di π!

Prima dell’avvento dei computer, che permettono una simulazione con un numero di lanci elevato, ci sono stati diversi tentativi sperimentali. Nel 1850 Wolf trovò il valore 3,1596 con 5000 lanci, nel 1901 Lazzarini effettuò 3408 lanci con un valore di pigreco pari a 3,141592. In realtà questo valore suscitò molti sospetti (troppo preciso!).

L’oggetto virtuale

http://www.randomservices.org/random/apps/BuffonNeedleExperiment.html 

Biblio/sitografia

Livio, M. La sezione aurea. Storia di un numero e di un mistero che dura da tremila anni, Rizzoli, 2017, pag.10-11.

https://areeweb.polito.it/didattica/polymath/htmlS/argoment/APPUNTI/TESTI/Apr_03/Cap17.html