Carte
Una carta da gioco è tipicamente una tessera di forma rettangolare di carta pesante o di plastica, delle dimensioni di una mano, usata per giochi, cartomanzia, illusionismo.
L’oggetto concreto
Sia dato un mazzo di 52 carte (26 rosse e 26 nere) ben mescolato, in modo cioè che tutti i possibili ordinamenti siano equiprobabili. Qual è' la probabilità che le carte siano ordinate in modo tale che ci sia un'alternanza di carte rosse e nere?
I possibili ordinamenti delle carte sono 52! ≈ 1068. I possibili ordinamenti alternati si ottengono mescolando separatamente le carte rosse da quelle nere; tenendo conto che si può incominciare con una carta rossa o una nera si ha 2*26!*26! ≈ 1053. La probabilità cercata è quindi pari a circa 10-15.
Un gioco di carte, basato invece sull’abilità, è quello di costruire un castello come quello in figura:
A questo punto possiamo porci alcune domande.
Quante carte occorrono per costruire un castello di p piani?
Con un mazzo di 40 carte napoletane quanto sarà alto il castello?
Le strategie per trovare un legame funzionale tra il numero dei piani e il numero delle carte di un castello sono diverse:
notare che, nel castello in figura, il piano più alto è formato da 3 (3 x 1) carte (un triangolo completo) mentre il piano di base, è formato da 4 (3 x 2 - 2) carte (due triangoli privati dei lati di base); la regola che fornisce il numero di carte è: 3n quando n non è il piano di base del castello, 3n - n = 2n quando n costituisce il piano di base del castello. Si giunge così a stabilire che per costruire un castello di n piani occorrono 3 (1 + 2 + 3 + …… + n-1) + 2n carte.
osservare che il numero di “triangoli” individuabili in un castello di n piani è n2 e che quindi il numero dei lati dei triangoli è 3n2; occorre però considerare che ogni lato, a parte quelli esterni, è contato due volte e che i triangoli sulla base non sono completi per concludere che il doppio del numero di carte necessario per costruire un castello di n piani è dato da (3n2 + 2n – n) e che quindi (3n2 + n) /2 è il numero di carte di un castello di n piani.
osservare che per un castello di n piani occorrono (1 + 2 + 3 + … + n) x 2 carte laterali e (1 + 2 + 3 + … + n-1) carte orizzontali. Quindi, in tutto, n(n+1) + (n-1) n/2 = (3n2 + n) /2.
Biblio/sitografia
Everitt B., Le leggi del caso, Utet, 2008, pagg. 58-68
Peres E, Febbre da gioco, Avverbi, 2000