06. Exemple 5: Moviment harmònic simple

L’oscil·lació és una manera natural de restaurar l’equilibri. El procés de restaurar aquest equilibri ocasiona molts fenòmens naturals significatius, com són les ones de la llum i el so. Mentre l’oscil·lació pot ser un procés molt complicat, les seves bases fonamentades en el moviment harmònic simple (MHS) no són difícils de dominar. Aquesta unitat de 2-3 setmanes examina les eines necessàries per analitzar el MHS i explorar les seves sorprenentment àmplies aplicacions.

1. Identificar les idees de fons. Quines idees o teories soterrades poden organitzar millor el tema en un conjunt coherent? Quines són les teories, ideologies, esquemes metafòrics o metanarratius més rellevants?

L’oscil·lació és una manera natural de trobar l’equilibri. Quan un sistema està mancat d’equilibri, guanya un excés d’Energia que d’alguna manera s’ha de perdre abans de retornar a l’equilibri. Aquest procés de pèrdua d’energia produeix fenòmens tant diferents com les ones de l’oceà i del so. L’acció recíproca entre equilibri i desequilibri està en tota la Natura, i sense ella no seriem capaços ni de veure ni d’escoltar (oir).

Una alternativa. El moviment d’una massa suspesa d'una molla pot ser objecte d’un gràfic amb les mateixes funcions que descriuen les coordenades en diferents punts d’un cercle. El moviment harmònic en general és sinusoïdal, significant que les propietats del cercle misteriós i perfecte troben el seu camí en una varietat de fenòmens naturals que nosaltres no associem normalment amb cercles. Un enfocament alternatiu de la Unitat podria implicar investigar les maneres en que les propietats del cercle són presents d’alguna manera en la natura.

2. Organització del contingut en una estructura teòrica

a)Accés inicial. Com la teoria pot ser més viscuda o vívida? Quin contingut expressa millor el tema?

L’exemple paradigmàtic d’un MHS és la massa suspesa d’una molla, en part per revelar les propietats del MHS tant planerament i en part perquè és tant fàcil de reproduir en una demostració de classe. Pots començar demostrant el moviment d’una massa sospesa d’una molla, mostrant com oscil·la sobre un punt d’equilibri fins que para, i llavors discutint com semblantment fenòmens dissimilars també exhibeixen aquestes propietats simples d’oscil·lació i equilibri. Elles apareixen tant en ones sobre l’aigua o la vibració d’una corda de guitarra, com en canvis en poblacions de predadors i preses en els ecosistemes. Els alumnes poden també aprendre que llum i so viatgen en ones d’oscil·lació i que la visió i l’oïda son possibles perquè membranes de pas del nostre cos responen a aquestes oscil·lacions.

A partir d’aquestes observacions, els alumnes poden investigar el que tots aquests fenòmens tenen en comú començant amb el punt d’equilibri i oscil·lació sobre aquest equilibri. Poden també dirigir-se a qüestions bàsiques com si l’oscil·lació te lloc a una velocitat constant, o si la velocitat és més gran en el punt d’equilibri o en el màxim desplaçament del punt d’equilibri. Poden també pensar quina classe de forces treballen de manera que quelcom pugui oscil·lar sobre un punt d’equilibri sense que pari immediatament en el punt d’equilibri o es desplaci a si mateix indefinidament fins lluny del punt d’equilibri. L’objectiu d’aquesta Unitat seria desenvolupar les eines matemàtiques que ajudin als alumnes a formalitzar lo comú entre tots aquests fenòmens d’oscil·lació donant-los-hi una clara captació de com tots aquests fenòmens diferents comparteixen unes poques propietats matemàtiques simples.

b) Organització del cos de la unitat. Quina metanarrativa proporciona una estructura a la unitat?

Contingut que presentarà una forta metanarrativa del tema: El més important és que la natura esta en constant interacció entre buscar un estat d’equilibri i la interrupció d’aquest equilibri. Ni l’equilibri ni el desequilibri són temes més interessants que l’oscil·lació entre ells. El so de la música i les marees de l’oceà són el resultat de sistemes d’oscil·lació sobre el seu punt d’equilibri. Si aquests sistemes trobessin sempre el seu punt d’equilibri o estesin suspesos permanentment en un estat fora del seu punt d’equilibri deixarien d’interessar–nos.

Una tensió interessant d’aquesta història és la manera en que l’oscil·lació és simplement un subproducte d’un sistema fora d’equilibri intentant restaurar el seu equilibri, però és el subproducte que produeix els resultats més interessants. Les vibracions d’una corda de guitarra són simplement el resultat de la corda intentant retornar a l’estat d’abans de que fos puntejada però són aquestes vibracions –no el puntejat ni l’estat d’equilibri– que produeixen el so. El professor pot voler fer ressaltar el romans d’aquesta noció d’aneguet lleig, el que sembla ser el procés no interessant d’anar d’un estat a l’altre és de fet més important que cada un dels dos estats.

3. Desenvolupar les eines per analitzar l’estructura teòrica. Quines eines matemàtiques o científiques ens ajudaran a analitzar els fenòmens de que tracten la idea general o teoria? Com podem desenvolupar i explorar aquestes eines de manera que subratllin la seva pertinença a la idea o teoria general?

Eines importants i la seva pertinença: Després d’explorar l’ampla varietat d’oscil·lacions presents en la natura, el professor pot voler retornar a l’exemple original de la massa sospesa d’una molla on les diverses propietats matemàtiques del moviment harmònic simple són més evidents. Estudiant la relació entre desplaçament i velocitat en un sistema massa-sospesa-d’una molla, la classe pot derivar la llei de Hooke, a més de les diverses formules que expressen el període, amplitud, desplaçament, velocitat, acceleració i energia potencial i cinètica d’un objecte subratllant el MHS. En examinar les propietats generals del MHS val la pena examinar les relacions entre MH i la funció sinusoïdal. D’aquesta manera, els alumnes poden veure que les propietats del MHS estan relacionades a les encara més simples propietats del cercle. En la suprema generalitat del cercle trobaran explicacions en quasi tots els aspectes de la natura.

4. Tenir en compte les limitacions de la Estructura Teòrica. Quins problemes rellevants no som capaços de solucionar amb les eines que hem adquirit en la Unitat? Quines altres complicacions afegeixen aquests problemes?

Problemes i eines addicionals: Aquí és on les parts simple i harmònica del MHS entren en joc. Un exemple comú donat en una unitat sobre MHS és la del moviment del pèndol. Encara que el moviment del pèndol dona suport a moltes analogies útils de MHS, no obstant, no es un exemple de MHS. Pot ser interessant introduir el moviment pendular preguntant als alumnes si el moviment pendular és un exemple de MHS i reptar-los a provar si ho és o no.

Més enllà de l’exemple del pèndol, pot ser valuós mostrar als alumnes que quasi totes les oscil·lacions de la natura no són tan simples com la massa suspesa a la molla. Utilitzant instruments matemàtics adquirits abans, poden descobrir que un objecte desplaçat de la seva situació d’equilibri tindrà més energia, de manera que l’oscil·lació és essencialment un tema de desprendre’s de l’excés de energia que evita el seu retorn a la seva posició d’equilibri. Això mai succeeix en el MHS ja que la suposició és que res dissiparà l’energia. En la vida real, no obstant, moltes oscil·lacions acaben parant-se a menys que alguna força ho eviti. P.e. una massa sospesa d’una molla para d’oscil·lar ja que la rigidesa de la molla i la fricció dissiparan l’energia en forma de calor, permetent a la massa retornar a la posició d’equilibri. Donar sentit d’aquestes més complicades formes d’oscil·lació requerirà matemàtiques més enllà del que cobreix aquesta unitat.

Sense aprofundir en matemàtica complicada, el professor pot mostrar com oscil·lacions amortides, conduïdes i autoexcitades compliquen la seva fórmula simple tractada abans en la Unitat. També és difícil captar la utilitat d’aquestes altres classes d’oscil·lació. Un exemple pertinent són els salts en els sots d’un cotxe. Si els sotracs del cotxe obeïssin les lleis del MHS, els passatgers tindrien un molt accidentat passeig, de manera que els enginyers d’autos han aprofundit l’impacte dels sots en els cotxes, minimitzant els sotracs.

5. Encoratjar el sentit d’agència dels alumnes. Quins trets del coneixement poden animar el sentit d’agència dels alumnes?

Àrees en que el sentit d’agència dels alumnes pot implicar-se i encoratjar-se: En la generalitat abstracta de les matemàtiques i la física, els alumnes poden descobrir un sentit d’agència per captar el fonamental darrera una ampla disposició de fenòmens aparentment dissemblants. Estudiant l’oscil·lació, p.e. pot ajudar als alumnes a desenvolupar un sentit de com poden analitzar i donar sentit d’un ample conjunt de problemes i a reduir similarment conductes complicades a uns pocs termes i equacions senzilles. Pot implicar el sentit d’agència dels alumnes a buscar diferents exemples d’oscil·lació en les seves pròpies vides i inventar fórmules que expressin la força o energia potencial en diferents punts de les seves oscil·lacions. Tals oscil·lacions no necessiten només ser òbvies exemples com la música o rebots del bàsquet. L’oscil·lació troba la seva aplicació en el món humà com en les fluctuacions de popularitat d’animadors, el camí de grans grup de gent anant a ocupar espai en un passeig i molts altes altres fenòmens socials.

6. Conclusió. Com podem assegurar que els alumnes han captat no només un nou conjunt de eines teòriques, sinó també una comprensió de on aquestes eines encaixen en un entramat conceptual més gran? Com podem assegurar que els alumnes comprenen no només com aplicar el que han après, sinó també per què treballa i per què hauria d’importar que ho comprenguin?

Activitat de cloenda: Una activitat útil en aquest punt pot ser retornar a la llista del brainstorming al començament de la Unitat de manera molt diferent a la que l’oscil·lació es manifesta en la natura. Aprofundint en l’exemple de la massa-sostinguda per la molla, els alumnes poden buscar analogies pels diferents termes com força, desplaçament, o energia cinètica quan apliquen a exemples d’oscil·lació en que aquests termes són inapropiats. Òbviament, les oscil·lacions en la població entre predadors i preses en un ecosistema no implica velocitat o acceleració, però els alumnes poden examinar com aquests propietats cinètiques tenen clares analogies en biologia, producció de so, i altres temes. Aquest anàlisi ajudarà a la classe a percebre com aquest relativament simple conjunt d’eines matemàtiques té aplicacions d’un tremendament ampli rang.

7. Avaluació. Com podem saber si s’ha comprés i aprés el contingut, si els alumnes han desenvolupat una teoria o idea general, l’han elaborat i assolit algun sentit de les seves limitacions?

Formes d’avaluació: Per guanyar una ferma captació de les eines matemàtiques implicades en analitzar el MHS, els alumnes necessitaran fer una certa quantitat de repetitives instruccions, tant com exercicis de classe com de casa i tenir cert domini d’aquests eines avaluades en tests estàndards. Comprendre la importància d’ampli espectre del MHS és útil encara que els alumnes no puguin també comprendre les matemàtiques amb què analitzar aquests importants fenòmens. No obstant comprendre les matemàtiques es igualment inútil si els alumnes no comprenen la seva pertinença. Els exercicis suggerits aquí repten als alumnes a trobar exemples de MH en les seves pròpies vides, i a trobar analogies pels termes mecànics en l’exemple de massa sostinguda per una molla com aplicades a d’altres instancies d’oscil·lació. Aquests exercicis farien possible avaluar la comprensió que els alumnes tenen dels principis generals del MHS, i l’extensió a la que aquests principis poden aplicar-se.