04. Exemple 3: El Càlcul

El càlcul és l’instrument matemàtic que formalitza el canvi i l’expressa en termes que tenen un sentit clar. En teoria, qualsevol procés de canvi, des de l’acceleració d’un sprinter a la caiguda de les fulles a la tardor, pot expressar-se com una funció matemàtica. El càlcul diferencial proporciona el conjunt inicial d’eines amb les que podem analitzar aquestes funcions i desenvolupar un sentit del treballs interior dels processos de canvi.

Aquesta unitat de 2-3 setmanes introdueix l’alumne a les eines i mètodes del càlcul diferencial.

(Calculus és una paraula llatina que significa palet o pedra (pedres al ronyó) i indica que els palets –a la prehistòria i posteriorment– varen utilitzar-se per calcular.

1. Identificar les idees de fons. Quines idees o teories soterrades poden organitzar millor el tema en un conjunt coherent? Quines són les teories, ideologies, esquemes metafòrics o metanarratius més rellevants?

La idea o teoria subterrània més forta d’aquest tema: el Càlcul Diferencial va ser la primera eina matemàtica inventada per amidar el canvi en si. Fins a la invenció del Càlcul en el segle XVII, els matemàtics eren capaços de modelar només els estats estàtics dels assumptes, o en el millor dels casos, valors variables representades per funcions. El Càlcul es la primera eina que pren el canvi mateix com objecte d’estudi, donant-li un lloc central en la nostra concepció de l’Univers.

Una alternativa: El Càlcul és la taquigrafia pel Càlcul infinitesimal ja que tracta amb els segments infinitesimals de línia, que tenen una longitud infinitesimalment petita però no cero. Com podem donar sentit a l’infinitesimal i com aquest esforç clarifica els conceptes d’infinit, continuïtat i límit?.

2. Organització del contingut en una estructura teòrica

a) Accés inicial. Com la teoria pot ser més viscuda o vívida? Quin contingut expressa millor el tema?

Contingut que expressa l’esquema o teoria més vívidament: Podem començar preguntant que és el canvi en general i com registrem el canvi en diferents manifestacions. Desvestir-se, la fusió de la neu i revisar les nostres preconcepcions sobre una persona, tenen en comú que ens podem referir a tots tres com que té lloc un canvi? Un canvi implica un estat final que és diferent de l’estat inicial, sí, però què podem ser capaços de dir d’aquesta progressió d’un estat a un altre que pugui ajudar-nos a comprendre-la millor? Quan temps ens prendrà? Es molt diferent l’estat final de l’inicial? En què? Quina unitat de mesura si n’hi ha alguna, podem utilitzar per indicar el canvi? Com podem observar i mesurar el canvi? Quin valor i quines dificultats té mesurar el canvi?

Una poderosa eina conceptual per amidar el canvi que els alumnes ja haurien de tenir és la funció polinòmica. Malgrat una funció pot no semblar la manera més òbvia d’analitzar el procés de vestir-se o canviar la ment, pot ser instructiu examinar com aquest procés pot almenys en algun sentit, expressar-se com funció polinòmica. La classe pot gaudir el repte de trobar una manera de posar en gràfic, per exemple, l’estat d’una persona desvestint-se en funció del temps.

b. Organització del cos de la unitat. Quina metanarrativa proporciona una clara estructura total a la Unitat?

Contingut que presentarà una metanarrativa forta sobre el tema: Podem apreciar el poder del càlcul comprenent l’impacte revolucionari que va tenir sobre la ciència d’aquell temps i com va ser de diferents maneres la peça central d’una revolució més general en la comprensió dels sers humans del cosmos i el seu lloc en el mateix. El càlcul infinitesimal fou desenvolupat per Newton i Leibniz (les reclamacions conflictives de prioritat entre els dos i la controvèrsia conseqüent també pot ser motiu de discussió) com un medi d’expressar el canvi en termes matemàtics. Per primera vegada els científics pogueren estudiar el canvi d’una manera rigorosa i formalitzada, facilitant una visió totalment nova de l’univers com quelcom dinàmic i canviant més que estàtic i fix.

Podem començar mirant la concepció medieval de la Terra fixa en el centre i un cosmos ordenat i harmoniós. Podem considerar les concepcions d’Aristòtil sobre inèrcia donades per descomptades durant segles, que tot resta quiet a menys que alguna força estigui constantment i activament mantenint-la en moviment. És a dir Aristòtil i els seus successors medievals donaren suport a que l’estat natural de les coses és el repòs. Podem també mirar les diferents maneres en que aquesta concepció d’un univers en repòs va lligada a disposicions sociopolítiques del món medieval. P. e. podem mostrar com aquesta concepció d’un cosmos fix reflecteix la jerarquia social fixa de l’època, col·locant als rics a dalt d’una Gran Cadena d’éssers que permet molt poca mobilitat social.

Per apreciar millor el lloc històric de l’invent del Càlcul podem considerar el canvi general en la comprensió occidental del món que esdevenia durant el Renaixement, donant sortida al desenvolupament de l’impremta, el descobriment d’Amèrica, la Reforma Protestant i altres. Aquests desenvolupaments establien al seu torn una sèrie de nous desenvolupaments en les ciències, des de Copèrnic a Galileu, a Kepler i a Newton.

El món deixava de ser una entitat fixa al centre de l’univers, la tendència natural del qual era el repòs, i es veia com un element mòbil en un Cosmos dinàmic i sempre canviant. Per donar sentit a aquest nou Cosmos, fou important desenvolupar eines que poguessin mesurar i quantificar aquesta natura. El Càlcul arriba com cavaller de brillant armadura per donar sentit a un Univers dinàmic.

3. Desenvolupar les eines per analitzar la estructura teòrica. Quines eines matemàtiques o científiques ens ajudaran a analitzar els fenòmens de que tracten la idea general o teoria? Com podem desenvolupar i explorar aquestes eines de manera que subratllin la seva pertinença a la idea o teoria general?

Eines importants i la seva persistència

Els alumnes haurien d’estar familiaritzats amb les funcions polinòmiques i haurien de saber fer gràfics d’una corba i com mesurar la pendent d’una línia. Haurien també d’estar habituats amb seqüències i sèries i els seus límits. El Càlcul Diferencial és simplement una qüestió de combinar aquests elements coneguts d’una nova manera. Els alumnes necessitaran aprendre com identificar mesures i expressar els límits d’una funció, reconèixer i traçar tangents a la corba que mostrin el pendent de la mateixa en un punt donat, i després generalitzar aquests conceptes de límit i pendent per calcular la derivada d’una funció polinòmica. Una vegada els alumnes han aprés el concepte central de computar una derivada, la resta del material consisteix simplement en l’elaboració d’aquest concepte central. La regla de les potències, la de la suma, la regla del producte, la de la cadena, tant com la de les formules de les derivades de les funcions trigonomètriques i altres difícils funcions, tots contribueixen al concepte fonamental de derivada.

Mentre s’ensenyen aquestes eines matemàtiques, es necessita tenir constantment present i recordar als alumnes, el paper que aquestes eines juguen en la narrativa més llarga de desenvolupar uns mitjans generalitzats d’analitzar canvis. Estem intentant fer evident i clar visualment el treball intern del canvi. Per exemple, dibuixant una línia tangent a una corba, estem mostrant de manera planera precisament que el pendent de la corba és a aquest punt infinitesimal on al corba i la tangent es troben. Estem canviant l’elusiva fluïdesa d’una corba en una simple línia recta. Estem trobant maneres de fer coses complicades de manera simple.

4. Tenir en compte les limitacions de l’estructura teòrica. Quins problemes rellevants no som capaços de solucionar amb les eines que hem adquirit en la Unitat? Quines altres complicacions afegeixen aquests problemes?

Problemes i eines addicionals: Moltes unitats sobre Càlcul Diferencial inclouen una discussió de les antiderivades, que porten naturalment al càlcul integral. El nostre propòsit aquí no és ensenyar als Alumnes el Càlcul Integral –ho farem en una altra Unitat– sinó cridar-los l’atenció a la classe de problemes que el Càlcul Diferencial és incapaç de resoldre que puguin ser resolts pel Càlcul Integral. També volem indicar les classes de problemes que només poden ser solucionats una vegada els alumnes hagin aprés les equacions diferencials.

El punt més obvi és que els alumnes ara coneixen com trobar el pendent d’una corba, però no coneixen com tractar l’àrea sota una corba. Per fer aquesta llacuna pertinent, pot ser útil donar alguns exemples de la classe de problemes que poden solucionar-se determinant l’àrea sota la corba, i mostrar com aquesta classe de problemes es relacionen estretament amb les classes de problemes que els alumnes han après a solucionar amb el càlcul diferencial. Si hem ensenyat als alumnes l’antiderivada, podem mostrar que aquesta eina pot servir com a punt de partida per majoria de mètodes implicats de Càlcul Integral.

5. Encoratjar el sentit d’agència (intervenció) dels alumnes. Quins trets del coneixement poden animar el sentit d’agència dels alumnes?

Àrees per encoratjar el sentit d’agència: Aprendre el Càlcul D no és exactament un motiu per què els alumnes escriguin cartes a l’alcalde, però proporciona un sentit més gran de control sobre una matèria que es molt estressant pels joves adults: el canvi. Hi ha moltes maneres d’augmentar la rellevància d’aquest nouvingut domini sobre una matèria molt abstracte en el món proper. Com he fet notar abans, el canvi és ubic i tot canvi pot, amb més o menys rellevància, ser expressat com una funció polinòmica. La classe pot gaudir del repte de trobar un exemple de canvi que sigui més resistent a la representació gràfica, seguit per un repte per trobar un mitjà per fer-lo gràfic. Un exercici posterior pot convidar als alumnes a posar en gràfic la funció d’algun canvi no matemàtic –p. e. la brillantor de l’humor del professor com una funció del temps en el curs del dia– i llavors extreure la derivada del gràfic i intentar explicar el que representa la derivada. El punt d’aquesta classe d’exercici és primerament donar als alumnes un sentit d’agència en vista amb el canvi en les seves vides. Mentre el Càlcul mateix no pot ajudar-los a tractar amb els seus problemes romàntics, si pot donar un gran sentit de confiança en reorganitzar i analitzar el canvi.

6. Conclusió. Com podem assegurar que els alumnes han captat no només un nou conjunt de eines teòriques, sinó també una comprensió de on aquestes eines encaixen en un entramat conceptual més gran? Com podem assegurar que els alumnes comprenen no només com aplicar el que han après, sinó també per què treballa i per què hauria d’importar que ho comprenguin?

Activitat de cloenda: Pot ser un bon moment per tornar a la narrativa històrica sobre el descobriment del Càlcul per Newton i Leibniz i el lloc central del Càlcul en portar una nova visió del món des del vell ordre medieval. Reptar als estudiants a pensar els problemes que no poden resoldre’s amb el Càlcul, que ressalten les limitacions de la visió del món en què aquests problemes resten irresolts.

Brainstorming sobre una llista de les classes de solucions a problemes i les classes d’invents que no haurien estat possibles sense el Càlcul. Aquests exercicis poden portar a una posterior reflexió sobre com les nostres assumpcions pròpies sobre el món al voltant nostre són influïdes per les eines matemàtiques que la nostra cultura posa al nostre abast.

7. Avaluació. Com podem saber si s’ha comprés i aprés el contingut? Si els alumnes han elaborat una idea general i el sentit de les seves limitacions?

Formes d’avaluació: Encara que no sigui plaent, la repetició és una de les millors maneres de reforçar un domini bàsic de les eines matemàtiques sense les quals el Càlcul no és més que una bonica idea. Exercicis mentals, treball a casa, concursos, són òbviament útils a aquest respecte, aquest mètodes d’avaluació ben utilitzats només donen un sentit del domini dels alumnes de les eines per fer Càlcul. Necessitem posteriors mètodes d’avaluació que comprovin fins a quin punt els alumnes han absorbit aquestes eines matemàtiques en una comprensió més ample que corresponen a les estructures conceptuals de conjunt. La comprensió dels alumnes d’aquests temes més amplis pot emergir mitjançant exercicis normalment anatema d’una classe de matemàtica, com ara assaig, discussions de classe, debats. Alguns d’aquests exercicis suggerits com mitjans perquè els alumnes relacionin el seu domini de la teoria del Càlcul Diferencial amb una comprensió més ample del canvi, poden també servir com un mitjà útil de avaluar el progrés.