отношение между ъгли в триъгълник

В темата отношение между ъгли в триъгълник се разглежда вид на триъгълника по въведена пропорция / отношение между вътрешните ъгли.

Използвани са познания за:

сумата от вътрешните ъгли на равнинен триъгълник е 180⁰;

вътрешен ъгъл може да бъде по-голям, равен или по-малък от сумата на останалите два вътрешни ъгъла;

вече изведени правила при работа с отношения (пропорция).

В предложените примерни задачи се извършва нагледно доказателство че:

ако най-големият ъгъл в триъгълника е по-малък от сумата на останалите два ъгъла, то триъгълникът е остроъгълен;

равностойно: ако квадратът на дължината на най-голямата страна е по-голям от сумата от квадратите на дължините на другите две страни, то триъгълникът е тъпоъгълен;

ако най-големият ъгъл в триъгълника е равен на сумата на останалите два ъгъла, то триъгълникът е правоъгълен;

равностойно: ако квадратът на дължината на най-голямата страна е равен на сумата от квадратите на дължините на другите две страни, то триъгълникът е правоъгълен;

ако най-големият ъгъл в триъгълника е по-голям от сумата на останалите два, то триъгълникът е тъпоъгълен;

равностойно: ако квадратът на дължината на най-голямата страна е по-малък от сумата от квадратите на дължините на другите две страни, то триъгълникът е остроъгълен;

срещу по-голям вътрешен ъгъл лежи по-голяма страна;

срещу най-големия вътрешен ъгъл е външно вписаната окръжност с най-голям радиус;

срещу равни ъгли лежат равни страни, обратното твърдение също е вярно: срещу равни страни лежат равни ъгли.

Да се реализира проект, представящ  вътрешнопредметни връзки на тема: отношение между ъгли в триъгълник.

В списъчно поле са представени естествени числа от интервала [1..180], представящи градуси на вътрешен ъгъл.

Потребителят има възможност да избира 3 пъти възможен вътрешен ъгъл с градусна мярка цяло число. Въвежданите ъгли не са непременно различни. След последния направен избор да се изведе отношението на въведените ъгли във вид на несъкратима дроб, както и вида на триъгълника. В проекта да е реализирана защита срещу въвеждане на некоректна градусна мярка на ъгъл.

Пример: 30, 90, 60   Изход: 30:90: 60 = 1:3:2 триъгълникът е правоъгълен

Примерни задачи за намиране на ъгли в триъгълник:

намиране на ъгли в триъгълник по лице и страни

от формулата за лице на триъгълник S = a*ha/2 = b*hb/2 = c*hc/2 може да се изведе:

S  = (a*b*sin(γ))/2 = (b*c*sin(α))/2 = (a*c*sin(β))/2 както и

sin(α) = 2*S/(b*c)

sin(β) = 2*S/(a*c)

sin(γ) = 2*S/(a*b)

намиране на ъгли в триъгълник по страна и радиус на описаната окръжност

от синусова теорема: в произволен триъгълник от равнината отношението между дължина на страна и стойност на тригонометричната функция синус от срещулежащия й ъгъл е равно на диаметъра на описаната окръжност около триъгълника.

sin(α) = 0.5*a/R

sin(β) = 0.5*b/R

sin(γ) = 0.5*c/R

както и реципрочните стойности

sin(α)/a = sin(β)/b = sin(γ)/c

намиране на ъгли в триъгълник по три страни

косинусова теорема: квадратът на страна в произволен триъгълник е равен на сумата от квадратите на другите две страни минус удвоеното произведение на същите страни и тригонометричната функция косинус от ъгъла, заключен между тях. При извеждане на доказателството за косинусова теорема се използва теорема на Питагор - използва се помощен правоъгълен триъгълник имащ остър ъгъл едни от ъглите на референтния  триъгълник. 

cos(α) = (b² + c² - a² )/(2*b*c)

cos(β) = (a² + c² - b²)/(2*a*c)

cos(γ) = (a² + b² - c²)/( 2*a*b)

при известни дължини на триъгълника формулата за изчисляване на ъгъл (в радиани) α = arccos((  b²   +  c² - a²)/ 2*b*c)

намиране на ъгли в триъгълник по страна и височина

sin(α) =  hc/b = hb/c 

sin(β) =  hc/a = ha/c 

sin(γ) =  ha/b = hb/a

Съществува група интересни и основни задачи свързани с правоъгълен триъгълник (катети a, b и хипотенуза c) и отношение между ъглите и страните му:

Вписан ъгъл в окръжност е ъгъл, чийто връх лежи на окръжността, а раменете му са секущи. Срещулежащият централен ъгъл към хорда е равен на удвоения вписан ъгъл към нея. От теорема на Талес - описаната окръжност около правоъгълен триъгълник има за диаметър неговата хипотенуза. Така медианата към хипотенузата е радиус на описаната окръжност и половината от нейния диаметър, в случая хипотенуза на правоъгълния триъгълник.

Ако отношението между ъглите е 1:1:2, то острият ъгъл е 45⁰, правоъгълният триъгълник е и равнобедрен дължината на хипотенузата c = a*√2. Медианата към хипотенузата е едновременно височина към хипотенузата , ъглополовяща на правия ъгъл и разделя правоъгълния триъгълник на два еднакви правоъгълни триъгълника.

Ако отношението между ъглите е 1:2:3, то острите ъгли са съответно 30⁰ и 60⁰ и дължината на хипотенузата c = 2*a, където катетът a има срещулежащ ъгъл от 30⁰. Изведеното отношение между ъглите е от задачата за височина в равностранен триъгълник - тя разделя референтния триъгълник на два еднакви правоъгълни триъгълника с катет половината на страната.

Ако отношението между ъглите е 1:5:6, то острите ъгли са съответно 15⁰ и 75⁰ и отношението между дължините височина към хипотенуза и хипотенуза е hc:c = 1:4. Доказателството се извършва с помощно построение на медиана към хипотенуза. Получават се: тъпоъгълен равнобедрен триъгълник BMC с остри ъгли 15⁰ и два правоъгълни триъгълника AHC (хипотенуза AC) с остри ъгли 75⁰ и 15⁰  и правоъгълен триъгълник MHC (MC хипотенуза) с остри ъгли 30⁰ и 60⁰. MC=2*HC от задачата за правоъгълен триъгълник с остър ъгъл 30⁰, AB = 2*MC от теорема на Талес за описана окръжност около правоъгълен триъгълник. Така AB = 4*HC.

Медиана към хипотенузата разделя правоъгълния триъгълник на два равнобедрени триъгълника.

Направете проверка на горните твърдения като ползвате по избор: синусова теорема, тригонометрични функции, косинусова теорема.

Отношенията между вътрешните, външните и съседните ъгли са разгледани подробна на страницата ъгли в триъгълник.

Разгледайте други реализирани примерни проекти, за които е ползвана подобна логическа структура на графичните обекти и/или приложени сходни алгоритми: ъглополовящи в успоредник, периметър на триъгълник, лице на разностранен триъгълник.