допирателна и периферни ъгли

В задачата допирателна и периферни ъгли се разглеждат окръжност, допирателна към нея и връзка между вписан и периферен ъгъл в същата окръжност.

Обща характеристика между споменатите вписан и периферен ъгли: върхът им лежи на окръжността, имат ъгъл равен на половината от съответния централен ъгъл. Разликата: рамената на вписания ъгъл са хорди/секущи за окръжността, при периферния ъгъл само едното рамо е секуща, а другото - допирателна. При изчисляване на периферен ъгъл се отчита ъгловата стойност на дъга, отсечена от централен ъгъл, чиито рамена пресичат окръжността в пресечните точки на секущата - рамо на изчислявания периферен ъгъл.

В теорема за допирателна и хорда (tangent-chord theorem, alternate segment theorem) се извежда твърдението: периферният ъгъл BAE между хорда и допирателна в нейна крайна точка е равен на вписания ъгъл AFB, ACB с рамена инцидентни с крайните точки на хордата AB.

Примерната задача за допирателна и периферни ъгли разглежда вписан триъгълник ABC с дадени: дължина на страна BC, R - радиус на описана окръжност и отношение между прилежащите на страната BC ъгли β\γ = m\n. Да се изчислят ъглите CAD, BAE, които допирателната във връх A сключва със страните AC, BC.

В хода на решението се ползва помощно построена допирателна - на чертежа отсечката DE и образуваните периферни ъгли BAE, CAD с общ връх т.А.

От синусова теорема BC = 2*R*sin(α) се изчислява ъгъл α = arcsin(2*R/BC).

Сума на вътрешните ъгли на триъгълника: α + β + γ = 180⁰.

β + γ = 180⁰ - α.

Съставя се и се решава системата уравнения:

β + γ = 180⁰ - α;

β/γ = m/n;

β = γ*m/n;

Решава се уравнението:

γ*m/n + γ = 180⁰ - α;

γ * (m+n) = n*(180⁰ - α);

γ = n*(180⁰ - α)/(m+n);

β = γ*m/n;

От определенията:

вписан ъгъл (BAC, ABC, ACB, AFB) е ъгъл, чийто връх е точка от окръжност, а раменете му я пресичат. Измерва се с половината от принадлежащата дъга на съответния централен ъгъл.

периферен ъгъл DAC, EAB) е ъгъл, за който едното рамо е допирателна, а другото пресича окръжността. Измерва се също както и вписания ъгъл.

За случая равенството в ъглите е:

DAC = ABC = β;

EAB = ACB = AFB = γ.

От въведените данни за радиус на описаната окръжност и изчислените ъгли се изчисляват страни, периметър и лице на триъгълника.

Разгледайте други основни типове примери и задачи, чието решение ползва теореми и формули от областта изчислителна геометрия. Прочетете допълнителна информация за: лице на триъгълник, медиана в триъгълник, описан допирателен триъгълник, ъгли в триъгълник.