В задачата допирателна и периферни ъгли се разглеждат окръжност, допирателна към нея и връзка между вписан и периферен ъгъл в същата окръжност.
Обща характеристика между споменатите вписан и периферен ъгли: върхът им лежи на окръжността, имат ъгъл равен на половината от съответния централен ъгъл. Разликата: рамената на вписания ъгъл са хорди/секущи за окръжността, при периферния ъгъл само едното рамо е секуща, а другото - допирателна. При изчисляване на периферен ъгъл се отчита ъгловата стойност на дъга, отсечена от централен ъгъл, чиито рамена пресичат окръжността в пресечните точки на секущата - рамо на изчислявания периферен ъгъл.
В теорема за допирателна и хорда (tangent-chord theorem, alternate segment theorem) се извежда твърдението: периферният ъгъл BAE между хорда и допирателна в нейна крайна точка е равен на вписания ъгъл AFB, ACB с рамена инцидентни с крайните точки на хордата AB.
Примерната задача за допирателна и периферни ъгли разглежда вписан триъгълник ABC с дадени: дължина на страна BC, R - радиус на описана окръжност и отношение между прилежащите на страната BC ъгли β\γ = m\n. Да се изчислят ъглите CAD, BAE, които допирателната във връх A сключва със страните AC, BC.
В хода на решението се ползва помощно построена допирателна - на чертежа отсечката DE и образуваните периферни ъгли BAE, CAD с общ връх т.А.
От синусова теорема BC = 2*R*sin(α) се изчислява ъгъл α = arcsin(2*R/BC).
Сума на вътрешните ъгли на триъгълника: α + β + γ = 180⁰.
β + γ = 180⁰ - α.
Съставя се и се решава системата уравнения:
β + γ = 180⁰ - α;
β/γ = m/n;
β = γ*m/n;
Решава се уравнението:
γ*m/n + γ = 180⁰ - α;
γ * (m+n) = n*(180⁰ - α);
γ = n*(180⁰ - α)/(m+n);
β = γ*m/n;
От определенията:
вписан ъгъл (BAC, ABC, ACB, AFB) е ъгъл, чийто връх е точка от окръжност, а раменете му я пресичат. Измерва се с половината от принадлежащата дъга на съответния централен ъгъл.
периферен ъгъл DAC, EAB) е ъгъл, за който едното рамо е допирателна, а другото пресича окръжността. Измерва се също както и вписания ъгъл.
За случая равенството в ъглите е:
DAC = ABC = β;
EAB = ACB = AFB = γ.
От въведените данни за радиус на описаната окръжност и изчислените ъгли се изчисляват страни, периметър и лице на триъгълника.
Разгледайте други основни типове примери и задачи, чието решение ползва теореми и формули от областта изчислителна геометрия. Прочетете допълнителна информация за: лице на триъгълник, медиана в триъгълник, описан допирателен триъгълник, ъгли в триъгълник.