пресечена пирамида

Пресечена пирамида се получава, ако през пирамида се построи равнина, успоредна на основата на пирамидата, която разделя пирамидата на две части. Частта от пирамидата, с по-малкото лице на основата, се нарича допълнителна пирамида, а останалата част пресечена пирамида.

Ако пресечената пирамида е резултат от пресичане на правилна пирамида (с онова правилен многоъгълник и височина перпендикулярна на основата), то тя се нарича правилна пресечена пирамида. В зависимост от броя страни в основата пирамидата добива различна имена.

Използвани означения:

b - дължина на основен ръб - AB = BC = CD = AD;

l - дължина на околен ръб - AA' = BB' = CC' = DD';

k - апотема на страна от пресечената пирамида и височина в равнобедрен трапец;

c - дължина на ръб в сечението, горната основа;

Bo - лице на основата;

Bd - лице на сечението и лице на основата на допълнителната пирамида;

h - височина на пресечена пирамида;

hd - височина на допълнителната пирамида;

So - околна повърхнина на пресечена пирамида;

S  - пълна повърхнина на пресечена пирамида;

Свойства на правилна пресечена пирамида:

равни дължини на основен ръб;

равни дължини на ръб в горната основа;

равни дължини на околен ръб;

равни дължини на апотема на страна от пирамидата;

равни лица на стените на пирамидата;

всяка страна на правилна пресечена пирамида е равнобедрен трапец с основи b и c, бедра l и височина - апотемата на страната k.

от свойства на успоредни сечения:

всяко успоредно сечение е многоъгълник подобен на основата на пирамидата;

лицата на две успоредни сечения в пирамида се намират в отношение както квадрата на разстоянието им до върха на референтната пирамида - извежда се чрез подобие на многоъгълници.

Околната повърхнина на пресечена пирамида се изчислява като сума от лицата на страните на пирамидата, сума от лица на трапеци.

So = n*(b+c)*k/2, където n е броя страни в многоъгълника на основата

Вариант за изчисляване на околната повърхнина е като разлика между околните повърхнини на референтната и допълнителната пирамида.

Пълната повърхнина на пресечена пирамида се изчислява като сума от околната повърхнина и лицата на двете основи.

S = So + Bo + Bd

Обем на пресечена пирамида V се изчислява като разлика между обема на референтната и допълнителната пирамида. В следващата формула с x е означена височината на допълнителната пирамида.

V = (1/3)*Bo*(h+x) - (1/3)*Bd*x

Чрез свойство на успоредни сечение може да се докаже, че:

V = (h/3)*(Bo + Bd + √(Bo*Bd))

Свойство:

Bd/Bo = x²/(x+h)²  или    x/(x+h) = √Bd/√Bо

x = (h* √Bd)/(√Bо - √Bd)    и x + h = (h*√Bо)/(√Bо - √Bd)  

заместваме p =  √Bd и q = √Bо

x = (h*p)/(q-p)   и x + h = (h*q)/(q-p) 

заместваме в

V = (1/3)*Bo*(h+x) - (1/3)*Bd*x

V = (1/3)*(q²*h*q/(q-p) - p²*h*p/(q-p) = 

 = (h/3)*(q^3 - p^3)/(q-p) = 

 =  (h/3)*(q-p)*(q² + q*p + pq²)/(q-p) = 

 =   (h/3)*(q² + p² + q*p)

или

V = (1/3)*(Bо² +  Bd²  +  √(Bо*Bd)

Идеята за изчисляване повърхнина и обем на правилна пресечена пирамида се прилагат и в 3-мерната  фигура пресечен конус.

Разгледайте други основни типове примери и задачи, чието решение ползва теореми и формули  от областта изчислителна геометрия. Прочетете допълнителна информация за: правилна пирамида, пресечен конус, равнобедрен трапец, обем на пирамида, диагонално сечение на пирамида.