ромб и височини

В задачата ромб и височини се илюстрира твърдението: петите на двете двойки височини BH, BG и DF, DE са върхове на правоъгълник EBGD, а височините разделят ромба на:

вариант 1:

ромб BJDI подобен на референтния;

2 еднакви правоъгълни делтоида AEIH, CFJG с върхове: пети на височините, пресечна точка на височините и връх на референтния ромб; диагоналите на двойката делтоиди AI, CG принадлежат на диагонала AC на ромба;

4 еднакви правоъгълни триъгълника: BEI, BFJ, DGJ, DIH;

вариант 2:

правоъгълен делтоид BFDE с върхове пети на височините и два върха на референтния ромб, има за своя описана окръжност 8-точковата окръжност;

2 еднакви правоъгълни триъгълника: AED, DFC;

вариант 3:

правоъгълен делтоид DHBG с върхове пети на височините и два върха на референтния ромб, има за своя описана окръжност 8-точковата окръжност;

2 еднакви правоъгълни триъгълника: AHB, BGC;

вариант 4:

правоъгълник EBGD;

2 еднакви правоъгълни триъгълника: AED, BGC;

Двата правоъгълника (EFGH и EBGD) имат за диагонал по късия диагонал в ромба и диаметър на описаната окръжност инцидентна с петите на височините и два върха на референтния ромб. Основният извод в поризъм на Poncelet, е че в окръжност могат да се впишат множество триъгълници, било то и правоъгълни. Подобна е ситуацията с 6-точкова окръжност и при успоредник (с две двойки равни ъгли).

В построителната задача ромб и височини семейство конгруентни точки са: пресечната точка на диагоналите в референтния ромб, пресечната точка на диагоналите в двата правоъгълника и центъра на тяхната описана окръжност.

В следващите основни задачи за ромб по въведени стойности на два елемента се изчисляват: диагонали, ъгли, радиус на вписана окръжност, височини, периметър и лице на ромб.

Изчислете P - периметър и S - лице на ромб по въведени: e - диагонал и h - височина в ромб.

радиус на вписана окръжност: r = h/2;

В ромб диагоналите са ъглополовящи. От равнобедрения триъгълник ABD с бедра страна ромба и основа диагонал e се извежда тригонометричното равенство sin(0.5*β) = h/e; изчислява се ъгъл: β = 2*arcsin(h/e);

ъгъл: α = π - β;

страна на ромб: a = h/sin(α);

лице на ромб: S = h*a;

диагонал на ромб: f = 2*a*cos(α/2);

периметър на ромб: P = 4*a;

Вариант на същата задача без тригонометрични функции:

от равенствата:

S = a*h =e*f/2;

a = (1/2)*√(e² + f²) - в ромб диагоналите са взаимно перпендикулярни, прилага се теорема на Питагор;

(h * √(e² + f²))/2 = e*f/2;

h² * (e² + f²) = e²*f² - изчислява се уравнението с неизвестно f;

страна на ромб: a = (1/2)*√(e² + f²);

периметър на ромб: P = 4*a;

лице на ромб чрез диагонали S = e*f/2

Изчислете P - периметър и S - лице на ромб по въведени: e - диагонал и α - ъгъл в ромб.

страна на ромб: a = e /(2*sin(α);

ъгъл: β = π - α;

лице на ромб чрез страна и ъгъл S = sin(α)*a²;

височина на ромб: h = S/a;

радиус на вписаната окръжност в ромб: r = h/2;

периметър на ромб: P = 4*a;

от формулата за лице на ромб чрез диагонали S = e*f/2 диагонал на ромб: f = 2*S/e;

Изчислете P - периметър и S - лице на ромб по въведени: e - диагонал и β - ъгъл в ромб.

ъгъл: α = π - β;

страна на ромб: a = e /(2*sin(α);

лице на ромб чрез страна и ъгъл S = sin(α)*a²;

височина на ромб: h = S/a;

радиус на вписаната окръжност в ромб: r = h/2;

периметър на ромб: P = 4*a;

от формулата за лице на ромб чрез диагонали S = e*f/2 диагонал на ромб: f = 2*S/e;

Разгледайте други основни типове примери и задачи, чието решение ползва теореми и формули от областта изчислителна геометрия. Прочетете допълнителна информация за: ромб и бимедиани, ромб и вписана окръжност, ромб и квадрати, диагонали в ромб, успоредник и ромб.