окръжности в триъгълник

В темата окръжности в триъгълник се представят формули за изчисляване радиус на вписана, описана и външно вписани окръжности в триъгълник от равнината - праволинеен триъгълник.

Използвани означения във формулите:

R - радиус на описана окръжност;

r - радиус на вписана окръжност;

Ra, Rb, Rc - радиус на съответната външно вписана окръжност;

a, b, c - дължина на съответната страна в триъгълник;

p = 0.5*(a+b+c) - полупериметър на триъгълник;

S - лице на триъгълник;

r = √((p-a)*(p-b)*(p-c)/p) : радиус на вписана окръжност по дължина на страна и полупериметър;

r² = ((p - a)(p - b)(p - c))/p : алтернативно радиус на вписана окръжност по дължини на страни и полупериметър;

r = 2*S / (a+b+c) или алтернативната формула r*p = S : радиус на вписана окръжност като отношение между лице и периметър

r + Rc + Rb - Ra = 4*R*cos(A), r + Rb + Ra - Rc = 4*R*cos(C), r + Ra + Rc - Rb = 4*R*os(B) : връзка между суми на радиуси и ъгъл;

r = (a + b - c)/2 : радиус на вписана окръжност в правоъгълен триъгълник с катети a и b.

r*R = a*b*c / (4*p) : връзка между произведението от радиусите на вписаната и описаната около триъгълник окръжност и произведението от дължините на страните в триъгълника:

R = a*b*c / 4*S : радиус на описана окръжност около триъгълник по дължини на страни и лице на триъгълник;

R = 0.25*(Ra + Rb + Rc - r) : радиус на описана окръжност около триъгълник чрез сума от радиуси на външно вписани окръжности и вписаната окръжност:

R = b*c/(2*ha) - връзка между диаметър на описана окръжност около триъгълник и отношението между произведението от дължините на две страни b*c и височината ha към третата страна;

Ra = S/(p - a); Rb = S/(p - b); Rc = S/(p - c); алтернативно Ra = 2*S / (-a+b+c), Rb = 2*S / (a-b+c), Rc = 2*S / (a+b-c); : връзка между радиус на външно вписана окръжности с лице и полупериметър

Ra*Rb*Rc = p*S : връзка между произведение от радиуси на външно вписани окръжности и лице и периметър на триъгълник;

Ra + Rb + Rc = r + 4*R : връзка между сума от радиусите на вписаната и описаната около триъгълник окръжност и сума от радиусите на външно вписаните окръжности в същия триъгълни

Ra + Rb + Rc - r = a*b*c / S = 4*R : връзка между сумата от радиуси и лице на триъгълник;

В остроъгълен триъгълник ABC могат да бъдат построени три взаимно допиращи се окръжности (окръжности на Соди - Soddy circles), всяка от тях с център връх на референтния триъгълник. Дължина на радиус (ra, rb, rc) за всяка от окръжностите:

ra = 0.5*(-a+b+c); rb = 0.5*(a - b + c); rc = 0.5*(a + b - c); a = rb + rc; b = ra + rc; c = ra + rb

Интересни теми за окръжности в триъгълник са и:

Теоремата на Ойлер (в геометрията) представя междуцентровото разстоянието d между центъра на вписаната и описаната окръжност около триъгълника с равенството: d² = R*(R-2*r), където d е междуцентровото разстояние, R - радиус на описаната окръжност, а r е радиус на вписаната окръжност в същия триъгълник.

9-точкова окръжност - минава през пети на височини, пети на медиани, разполовява отсечките ортоцентър : връх на триъгълника;

окръжност Hexyl - описаната окръжност около пресечните точки на перпендикулярите спуснати от центъра на срещулежащата външно вписана окръжност към продълженията на страните от референтния триъгълник (рамената на съответния ъгъл).

окръжност на Brocard - известна също и като 7-точкова окръжност. Има за диаметър разстоянието център на описаната окръжност : точка на Lemoine. Окръжността на Brocard преминава през двете едноименни точки и през трите пресечни точки на правите на Brocard, преминаващи през връх на триъгълника и съответните точки на Brocard, през точката на Lemoine и през центъра на описаната окръжност.

окръжностите на Droz-Farny илюстрират факта, че центъра на описаната окръжност и ортоцентъра са изогонално спрегнати точки.

окръжност на Kosnita - покриващата окръжност на трите описани окръжности около триъгълниците ABO, BCO, ACO, където точките A, B, C са върхове на референтния триъгълник, а т.O е център на описаната окръжност за същия триъгълник;

окръжност на Lester - инцидентна едновременно с: първа и втора точка на Fermat, с центъра на описаната окръжност около референтния триъгълник и с центъра на неговата 9-точкова окръжност;

окръжности на Malfatti - три окръжности, вписани в триъгълник, така че всяка от тях се допира външно до другите две окръжности, но едновременно с това и до две от страните на триъгълника;

окръжност на ван Ламоен - инцидентна с центъра на всяка от описаните окръжности около триъгълниците ACmM, BCmM, BAmM, CAmM, CBmM и ABmM, където ABC е произволен триъгълник от равнината, т.М неговия медицентър, а точките Am, Bm, Cm пети на медианите;

окръжности на Лукас - всяка от трите едноименни окръжности преминава през връх на триъгълник и се допира до останалите две окръжности;

окръжности на Соди - три взаимно допиращи се окръжности, всяка от тях с център връх на референтния триъгълник;

радикална окръжност SCI - едновременно ортогонална на трите окръжности в триъгълник с върхове центровете на окръжностите от едноименната теорема..

полувписана окръжност - едновременно допираща се до описаната окръжност и две страни от триъгълника. Такава окръжност се разглежда в теорема на Вериер и в теорема на Тебо 3 вариант със страна и чевиана.

Използване на представените формули при полагане на изпит или участие в състезание изисква и съответното доказателство. Това може да отнеме време.

Разгледайте други основни типове примери и задачи, чието решение ползва теореми и формули от областта изчислителна геометрия. Прочетете допълнителна информация за: вписани окръжности в триъгълник, вписани окръжности и радиуси, вписани окръжности и ъгли.