правилна пирамида

Под правилна пирамида се разбира права пирамида с основа правилен многоъгълник. Следствие на тези изисквания: са равни околни ръбове, проекцията на върха на пирамидата върху основата и центъра на тежестта на основата са конгруентни точки, страните на пирамидата са еднакви равнобедрени триъгълници, допирните точки на вписаната сфера в пирамидата принадлежат на една и съща равнина. 

Текстът на разгледаните основни задачи за изчисляване елементи (основен ръб, околен ръб, апотема, височина, лице на основата, околна повърхнина, обем на пирамида) на правилна 4-ъгълна пирамида би имал приблизително съдържание:

Изчислете елементите на пирамидата по дадени: дължина на околен ръб b и радиус на описаната окръжност около стена на пирамидата R.

ъгъл между основен и околен ръб α = arccos(0.5*a/b);

апотема на пирамида h = b*sin(α); 

основен ръб a = 2*b*cos(α); 

височина на пирамида H = √(h² - a²/4); 

лице на основа B = a²; 

околна повърхнина So = 2*a*h; 

обем на пирамида V = B*H/3;

Изчислете елементите на правилна пирамида по дадени: дължина на околен ръб b и лице на основа B.

основен ръб a = √(B); 

апотема на пирамида h = √(b² - a²/4); 

ъгъл между основен и околен ръб α = arccos(0.5*a/b);

радиус на описаната окръжност около стена на пирамидата: R = b/(2*sin(α));  

височина на пирамида H = √(h² - a²/4); 

околна повърхнина So = 2*a*h; 

обем на пирамида V = B*H/3;

Изчислете елементите на правилна пирамида по дадени: околен ръб на пирамида b и околна повърхнина So.

от равенствата b² = (a/2)² + h²;  (a/2)*h = So/2;  следва   ((a/2) + h)² = b² + So/2

съставя се системата уравнения:

h + a/2 = √(b² + So/2)

(a/2)*h = So/2;

изчислява се дължина на основен ръб a и апотема на пирамидата h;

лице на основа B = a²; 

ъгъл между основен и околен ръб α = arccos(0.5*a/b);

височина на пирамида H = √(h² - a²/4); 

обем на пирамида V = B*H/3;

радиус на описаната окръжност около стена на пирамидата: R = b/(2*sin(α));  

Изчислете елементите на правилна пирамида по дадени: дължина на апотема на пирамида h и височина на пирамида H.

основен ръб a = 2*√(h² - H² ); 

околен ръб b = √(h² + a²/4);

ъгъл между основен и околен ръб α = arccos(0.5*a/b);

радиус на описаната окръжност около стена на пирамидата: R = b/(2*sin(α));  

лице на основа B = a²; 

околна повърхнина So = 2*a*h; 

обем на пирамида V = B*H/3;

Изчислете елементите на правилна пирамида по дадени: дължина на апотема на пирамида h и ъгъл между основен и околен ръб α.

околен ръб b = h/sin(α); 

основен ръб a = 2*b*cos(α); 

радиус на описаната окръжност около стена на пирамидата: R = b/(2*sin(α));

височина на пирамида H = √(h² - a²/4); 

лице на основа B = a²; 

околна повърхнина So = 2*a*h; 

обем на пирамида V = B*H/3;

Изчислете елементите на правилна пирамида по дадени: дължина на апотема на пирамида h и лице на основа B.

основен ръб a = √(B);

околен ръб b = √(h² + a²/4); 

ъгъл между основен и околен ръб α = arccos(0.5*a/b);

радиус на описаната окръжност около стена на пирамидата: R = b/(2*sin(α)); 

височина на пирамида H = √(h² - a²/4);  

околна повърхнина So = 2*a*h; 

обем на пирамида V = B*H/3;

Изчислете елементите на правилна пирамида по дадени: дължина на апотема на пирамида h и околна повърхнина So.

основен ръб a = So/(2*h); 

околен ръб b = √(h² + a²/4);

ъгъл между основен и околен ръб α = arccos(0.5*a/b);

радиус на описаната окръжност около стена на пирамидата: R = b/(2*sin(α)); 

височина на пирамида H = √(h² - a²/4); 

лице на основа B = a²; 

обем на пирамида V = B*H/3;

Изчислете елементите на правилна пирамида по дадени: дължина на апотема на пирамида h и обем на пирамида V.

от уравненията  H² = h² - (a/2)² и H = 3*V/a² се извежда равенството  h² - (a/2)² = 3*V/a²;

решава се квадратното уравнение с неизвестно a² - дължина на основен ръб;

околен ръб b = √(h² + a²/4);

ъгъл между основен и околен ръб α = arccos(0.5*a/b);

радиус на описаната окръжност около стена на пирамидата: R = b/(2*sin(α)); 

височина на пирамида H = √(h² - a²/4); 

лице на основа B = a²; 

околна повърхнина So = 2*a*h; 

Изчислете елементите на правилна пирамида по дадени: дължина на височина H и ъгъл между основен и околен ръб на пирамида α.

от уравненията h² = H² + (a/2)² и h² = (a/2)*tan(α))² се извежда равенството H² + (a/2)² = (a/2)*tan(α))²; 

основен ръб на пирамида a = 2*H/√((tan(α))² - 1)

апотема на пирамида h = √( H² + (a/2)²);  

околен ръб на пирамида b = (a/2)/cos(α);

лице на основа B = a²; 

радиус на описаната окръжност около стена на пирамидата: R = b/(2*sin(α)); 

околна повърхнина So = 2*a*h; 

обем на пирамида V = B*H/3;

Разгледайте други основни типове примери и задачи, чието решение ползва теореми и формули  от областта изчислителна геометрия. Прочетете допълнителна информация за: пирамида, обем на пирамида, диагонално сечение на пирамида, описана пирамида.