В разгледаните основни задачи за повърхнина на призма по въведени стойности на два елемента (пълна и/или околна) повърхнина, обем, диагонал, основен/околен ръб се изчисляват стойности за останалите елементи на призмата. Представени са само параметрични уравнения - подход използван в правоъгълник, успоредник, обем на конус и цилиндър.
Да се изчисли P - сума от дължините на околни и основни ръбове и V - обем на призма по въведени: S - пълна повърхнина, a - ръб на основата и f - телесен диагонал.
от f² = a² + b² + c² следва b² + c² = f² - a²;
от уравненията:
S = 2*a*c + 2*b*c + 2*a*b;
f² = a² + b² + c² следва b + c = √(S + f²) - a;
съставя се система уравнения
b + c = √(S + f²) - a; замества се m = √(S+ f²) - a;
b² + c² = f² - a²;
b = m - c;
Системата се редуцира до квадратно уравнение:
(m - c)² + c² = f² - a²;
2*c² - 2*m*c + m² - f² + a² = 0;
околен ръб на призма: c положителния корен на уравнението;
основен ръб на призма: b = m - c;
диагонал на основа: e = √( a² + b²);
сума от дължините на околни и основни ръбове: P = 4*(a+ b + c);
околна повърхнина: So = 2*(a+b)*c;
обем на призма: V = a*b*c.
Да се изчисли S - пълна повърхнина и P - сума от дължини на основни и околни ръбове на призма по въведени V - обем на призма, a - основен ръб и f - телесен диагонал.
от уравнение за обем на призма b*c = V/a;
f² - a² = b² + c²;
b² + c² + 2*b*c = f² - a² +2*V/a;
b + c = √ (f² - a² +2*V/a);
От системата уравнения:
b*c = V/a;
b + c = √ (f² - a² +2*V/a);
чрез субституция системата се свежда до квадратно уравнение и се изчислява b - основен ръб на призма
околен ръб на призма: c = V/(a*b);
диагонал на основата: e = √(a² + b²);
сума от дължините на околни и основни ръбове: P = 4*(a+ b + c);
околна повърхнина: So = 2*(a+b)*c;
пълна повърхнина: S = So + 2*a*b.
Да се изчисли S - пълна повърхнина и V - обем на призма по въведени P - сума от дължини на основни и околни ръбове на призма, a - основен ръб и f - телесен диагонал.
от сума от дължините на околни и основни ръбове: P = 4*(a+ b + c);
от уравнението: b + c = P/4 - a следва
(b + c)² = (P/4 - a)²;
f² = e² + c² = a² + b² + c²;
b² + c² = f² - a²;
(b + c)² - b² - c² = (P/4 - a)² - f² + a²;
2*b*c = ((P - 4*a)/4)² - f² + a²;
От системата уравнения:
2*b*c = ((P - 4*a)/4)² - f² + a²;
b + c = (P - 4*a)/4;
чрез субституция системата се свежда до квадратно уравнение и се изчислява b - ръб на основата;
околен ръб на призма: c = P/4 - a - b;
диагонал на основата: e = √(a² + b²);
околна повърхнина: So = 2*(a+b)*c;
пълна повърхнина: S = So + 2*a*b;
обем на призма: V = a*b*c.
Да се изчисли P - сума от дължини на основни и околни ръбове на призма и f - телесен диагонал по въведени So - околна повърхнина, S - пълна повърхнина и a - основен ръб на призма.
от уравнения за пълна и околна повърхнина на призма S - So = 2*a*b;
основен ръб на призма: b = (S - So)/(2*a);
околен ръб на призма: c = So/(2a + 2b);
сума от дължините на околни и основни ръбове: P = 4*(a+ b + c);
диагонал на основата: e = √(a² + b²);
телесен диагонал f = √(e² + c²);
обем на призма: V = a*b*c.
Да се изчисли P - сума от дължини на основни и околни ръбове на призма и f - телесен диагонал по въведени So - околна повърхнина, V - обем на призма и a - основен ръб на призма.
от формула за обем на призма b*c = V/a;
от формула за околна повърхнина So = 2*a*c + 2*b*c = 2*a*c + 2*V/a;
околен ръб на призма: c = (So - 2*V/a)/(2*a);
основен ръб на призма: b = V/(a*c);
сума от дължините на околни и основни ръбове: P = 4*(a+ b + c);
диагонал на основата: e = √(a² + b²);
телесен диагонал: f = √(e² + c²);
пълна повърхнина: S = So + 2*a*b.
Да се изчисли f - телесен диагонал и V - обем на призма по въведени S - околна повърхнина, P - сума от дължини на основни и околни ръбове на призма и a - основен ръб на призма.
от уравнение за околна повърхнина So = 2*(a+b)*c = 2*a*c + 2*b*c следва дължина на околен ръб на призма:: c = So/(2*a + 2*b);
от уравнение за сума от дължините на ръбове в 4-ъгълна призма: P = 4*(a+ b + c) следва a + b = P/4 - c;
замества се m = a + b и се съставя квадратно уравнение с неизвестно a+b;
So/(2*m) = (P/4) - m; двете страни се умножават с 2*m;
2*m² - P*m/2 - So = 0;
взема се положителния корен на уравнението;
основен ръб на призма: b = m - a;
околен ръб на призма: c = P/4 - a - b;
от теорема на Питагор дължина на диагонал на основата: e = √(a² + b²);
от теорема на Питагор дължина на телесен диагонал: f = √(e² + c²);
пълна повърхнина: S = So + 2*a*b;
обем на призма: V = a*b*c.
Да се изчисли P - сума от дължини на основни и околни ръбове на призма и f - телесен диагонал по въведени S - пълна повърхнина, V - обем на призма и a - основен ръб на призма.
от формула за обем на призма V = a*b*c се изчислява произведението между основен и околен ръб b*c = V/a;
формула за пълна повърхнина S = 2*(a+b)*c + 2*a*b = 2*a*c + 2*b*c + 2*a*b = 2*a*(b+c) + 2*V/a се представя сума основен и околен ръб b + c = (S - 2*V/a)/(2*a) = (a*S - 2*V)/(2*a²);
Решава се системата уравнения:
b + c = (a*S - 2*V)/(2*a²);
b*c = V/a;
след субституция c = V/(a*b) се съставя квадратното уравнение и се взема негов положителен корен за основен ръб на призма на призма b;
околен ръб на призма: c = V/(a*b);
околна повърхнина: So = S - 2*a*b;
сума от дължини на основни и околни ръбове на призма: P = 4*(a+ b + c);
от теорема на Питагор дължина на диагонал на основата: e = √(a² + b²);
от теорема на Питагор дължина на телесен диагонал: f = √(e² + c²).
Да се изчисли V - обем на призма и f - телесен диагонал по въведени P - сума от дължини на основни и околни ръбове на призма, S - пълна повърхнина и a - основен ръб на призма.
от уравнението сума от дължини на основни и околни ръбове на призма: P = 4*(a+ b + c) се извежда b + c = P/4 - a;
замества се в уравнението за пълна повърхнина S = 2*a*c + 2*b*c + 2*a*b = 2*a*(b + c) + 2*b*c ;
2*b*c = S - 2*a*(P/4 - a);
b*c = ( S - 2*a*(P/4 - a));
от системата уравнения:
b + c = P/4 - a;
b*c = ( S - 2*a*(P/4 - a))/2;
замества се c = P/4 - a - b;
b*(P/4 - a - b) - ( S - 2*a*(P/4 - a))/2 = 0;
b² + (a -P/4)*b + ( S - 2*a*(P/4 - a))/2 = 0;
за ръб на основата b се взема положителния корен;
околен ръб на призма: c = P/4 - a - b;
от теорема на Питагор дължина на диагонал на основата: e = √(a² + b²);
от теорема на Питагор дължина на телесен диагонал: f = √(e² + c²);
околна повърхнина: So = 2*(a+b)*c;
обем на призма: V = a*b*c.
Да се изчисли S - пълна повърхнина и f - телесен диагонал по въведени V - обем на призма, P - сума от дължини на основни и околни ръбове на призма и a - основен ръб на призма.
От системата уравнения:
b*c = V/a;
b+c = P/4 - a;
b + V/(a*b) - (P/4 - a) = 0;
4*a*b² - a*b*(P - 4*a) + 4*V = 0;
решава се квадратното уравнение с неизвестно b и се взема положителния корен
околен ръб на призма: c = V/(a*b);
диагонал на основата: e = √(a² + b²);
телесен диагонал: f = √(e² + c²);
околна повърхнина: So = 2*(a+b)*c;
пълна повърхнина: S = So + 2*a*b.
Разгледайте други основни типове примери и задачи, чието решение ползва теореми и формули от областта изчислителна геометрия. Прочетете допълнителна информация за: призма, обем на призма, ръб на призма, призматоид.