височини в триъгълник

Решени задачи на тема височина в триъгълник свързани с изчисляване на лице, периметър, център и радиус на описана окръжност.

Да се изчислят елементи на триъгълник по дадени: страна a, лице S и прилежащ ъгъл В.

от формулата лице на триъгълник S = 0.5*a*c*sin(В)се изчислява дължина на страната c=2*S/(a*sin(В)); b = √(a² + c² - 2*a*c*cos(B));

радиус на описана окръжност: R = a*b*c/(4*S);

A = arcsin(a/(2*R)); C = π - A - B;

ha = 2*S/a; hb = 2*S/b; hc = 2*S/c

периметър на триъгълник: P = a + b + c;

радиус на вписана окръжност: r = 2*S/P;

Да се изчислят елементи на триъгълник по дадени: лице на триъгълник S и два ъгъла A, B.

C = π - A - B;

от лице на триъгълник S = sin(A)*sin(B)*sin(C) *2*R² се изчислява R = √ S/(2*sin(A)*sin(B)*sin(C)));

a = 2*R*sin(A); b = 2*R*sin(B); c = 2*R*sin(C);

височини в триъгълник: ha = 2*S/a; hb = 2*S/b; hc = 2*S/c;

периметър на триъгълник: P = a + b + c;

радиус на вписана окръжност: r = 2*S/P;

Да се изчислят елементи на триъгълник по дадени: страна c, прилежащ ъгъл А и R радиус на описаната окръжност.

ъгли в триъгълник: C=arcsin(c/(2*R)); B=π-(A+C);

b = 2*R*sin(B); a = 2*R*sin(A);

лице на триъгълник S = a*b*c/(4*R) = 0.5*a*b*sin(C);

периметър на триъгълник: P = a + b + c;

височини в триъгълник: ha = 2*S/a; hb = 2*S/b; hc = 2*S/c;

радиус на вписана окръжност: r = 2*S/P;

Да се изчислят елементи на триъгълник по дадени: радиус на описаната окръжност R и два ъгъла A, B.

C = π- (A + B);

a = 2*R/sin(A); b = 2*R/sin(B); c = 2*R/sin(C);

лице на триъгълник: S = a*b*c/(4*R);

периметър на триъгълник: P = a + b + c;

височини в триъгълник: ha = 2*S/a; hb = 2*S/b; hc = 2*S/c;

радиус на вписана окръжност: r = 2*S/P;

Да се изчислят елементи на триъгълник по дадени: радиус на описаната окръжност R, височина hc и ъгъл A.

a = 2*R*sin(A); b=hc/sin(A);

B = arcsin(b/(2*R)); C = π-(A+B);

c = 2*R*sin(C);

периметър на триъгълник: P = a + b + c;

лице на триъгълник S = a*b*c/(4*R);

височини в триъгълник: ha = 2*S/a; hb = 2*S/b;

радиус на вписана окръжност: r = 2*S/P;

Да се изчислят елементи на триъгълник по дадени: страна c, срещулежащ ъгъл C и височина към страна ha.

b = ha/sin(C);

ъгли в триъгълник: B = arcsin(ha/c); A = π - (B+C);

радиус на описана окръжност: R = b/(2*sin(B ));

c = √(a² +b² - 2*a*b*cos(C)) - косинусова теорема;

лице на триъгълник S = a*b*c/(4*R);

височини в триъгълник: hb = 2*S/b; hc = 2*S/c;

периметър на триъгълник: P = a + b + c;

радиус на вписана окръжност: r = 2*S/P;

Да се изчислят елементи на триъгълник по дадени: страна a, лице на триъгълник S и височина от съседния връх hb.

ha = 2*S/a;

b = 2*S/hb;

C= arcsin(ha/b);

c = 2*R*sin(C);

hc = 2*S/c;

ъгли в триъгълник: A = arcsin(hc/b); B = arcsin(hc/a);

радиус на описана окръжност: R = a/(2*sin(A));

периметър на триъгълник: P = a + b + c;

радиус на вписана окръжност: r = 2*S/P;

Да се изчислят елементи на триъгълник по дадени: две височини ha, hb и лице S.

a = 2*S/ha; b = 2*S/hb,

C = arcsin(ha/b);

c = √(a² +bc² - 2*a*b*cos(C));

радиус на описана окръжност: R = c/(2*sin(C));

ъгли в триъгълник: A = arcin(a/(2*R); B = arcin(b/(2*R);

периметър на триъгълник: P = a + b + c;

радиус на вписана окръжност: r = 2*S/P;

Да се изчислят елементи на триъгълник по дадени: две височини ha, hb и ъгъл C.

лице на триъгълник S = 0.5*ha*hb/sin(C);

a = 2*S/ha; b = 2*S/hb; ....... или b = ha/sin(C); a = ha/sin(C); c = √(a² +b² - 2*a*b*cos(C));

R = c/(2*sin(C));

ъгли в триъгълник: A = arcsin(a/(2*R)); B = arcsin(b/(2*R));

hc=2*S/c;

периметър на триъгълник: P = a + b + c;

радиус на вписана окръжност: r = 2*S/P;

Да се изчислят елементи на триъгълник по дадени: две височини ha, hb и сумата от дължините на съответните страни a+b.

лице на триъгълник S = 0.5*(a+b)/(1/ha + 1/hb);

a =2*S/ha; b =2*S/hb;

C = arcsin(ha/b);

c = √(a² +b² - 2*a*b*cos(C)) - косинусова теорема;

радиус на описана окръжност: R = c/2*sin(C)); hc = 2*S/c;

периметър на триъгълник: P = a + b + c;

радиус на вписана окръжност: r = 2*S/P;

Да се изчислят елементи на триъгълник по дадени: 3 височини ha, hb, hc.

лице на триъгълник S = 4*√(H*(H-1/ha)*(H-1/hb)*(H-1/hc))), за H = 0.5*(1/ha + 1/hb + 1/hc);

a = 2*S/ha; b = 2*S/hb; c = 2*S/hc;

радиус на описана окръжност: R = a*b*c/(4*S);

ъгли в триъгълник: A = arcsin(a/(2*R)); B = arcsin(b/(2*R)); C = arcsin(c/(2*R));

реципрочната стойност на радиуса на вписаната окръжност е равен на сумата от реципрочните стойности на височините в триъгълника: 1/r = 1/ha + 1/hb + 1/hc;

Да се изчислят елементи на триъгълник по дадени: 3 медиани ma, mb, mc.

c = 2*√(2*ma² + 2*mb² - mc²)/2; a = 2*√(2*mb² + 2*mc² - ma²)/2; b = 2*√(2*mc² + 2*ma² - mb²)/2;

полупериметър на триъгълник: p = (a+b+c)/2;

лице на триъгълник: S = √(p*(p-a)*(p-b)*(p-c));

радиус на описана окръжност: R = a*b*c/(4*S);

ъгли в триъгълник: A=arcsin(a/(2*R)); B = arcsin(b/(2*R)); C= arcsin(a/(2*R));

височини в триъгълник: ha = 2*S/a; hb = 2*S/b; hc = 2*/S/c;

радиус на вписана окръжност: r = 2*S/P;

Построителната задача височина в триъгълник е свързана с пета на височина, пресечна точка на страна на триъгълник с права инцидента с пети на две височини и построяване на перпендикуляр.

Ако в триъгълникABC се построи се построят височина AHa, BHb, права инцидентна с точките Ha, HB, пресечна точка т.D = AB x HaHb, перпендикуляр от ортоцентъра към AD (HE ⊥ AD), то точките Mc (AMc = BMc), H, E са колинеарни точки

Алгоритъмът на построителната задача височина в триъгълник съдържа следните стъпки:

посочват се координати на три не колинеарни точки A, B, C и се построява референтния триъгълник;

построяват се височините Aha, BHb;

изчисляват се координати на ортоцентъра H = AHa x BHb;

изчислява се координати на пресечната точка D = AB x HaHb;

построява се отсечка CD;

с начало ортоцентъра се построява перпендикуляр към CD ( HE ⊥ CD);

изчислява се координати на пресечната точка Mc = AB x HE;

последователно се изчисляват дължина на отсечките Amc, BMc;

получаването на конгруентни стойности е и доказателство за основното твърдение в задачата височина в триъгълник.

Разгледайте други основни типове примери и задачи, чието решение ползва алгоритми от изчисляване елементи на триъгълник. Потърсете допълнителен материал за: височини в триъгълник, ортоцентър, перпендикуляр.