триъгълник на Calabi

В задачата триъгълник на Calabi (Calabis's triangle) се разглежда равнобедрен тъпоъгълен триъгълник, в който са вписани три еднакви, възможно най-големи квадрата. Страна на всеки от квадратите принадлежи на страна от референтния триъгълник. Авторът на задачата Eugenio Calabi извежда стойност за отношението основа:бедро на триъгълника k = 1.55138752454... като най-големия положителен корен на кубичното уравнение:

2*x^3 - 2*x^2 -3*x + 2 = 0

Във всеки равностранен триъгълник могат да се впишат три еднакви квадрата с конгруентни координати за среда на страна в съответната двойка: страна на триъгълника и страна на квадрат. Всеки от върховете на вписаните  квадрати е инцидентен със страна на триъгълника.

В триъгълника на Calabi два от квадратите имат общ връх с връх на триъгълника, два от квадратите имат по три върха инцидентни със страна на равнобедрения триъгълник.

При използване на остроъгълен равнобедрен триъгълник с реципрочна стойност на изведената константа и еднакъв алгоритъм за построяване на трите квадрата, всеки от върховете им (на квадратите) лежи на страна от референтния триъгълник, но само два от квадратите са еднакви.

Приложеният алгоритъм в построителната задача триъгълник на Calabi ползва следните стъпки:

посочват се координати на две точки - върхове на основа за равнобедрен триъгълник;

изчислява се дължина на основата;

изчислява се дължина на бедрото като произведение от дадената константа и вече изчислената дължина на основата;

изчисляват се координати за среда на основата;

изчислява се дължина на височина към основата - чрез теорема на Питагор;

изчисляват се координати за третия връх на равнобедрения триъгълник - алгоритъм построяване на перпендикуляр от дадена точка на отсечка;

за построяване на първия квадрат (на чертежа с цвят червен) се ползва изцяло алгоритъма представен във вписан квадрат в триъгълник;

за следващите два квадрата се ползва алгоритъм за построяване на квадрат с въведена дължина на страна, координати за начален връх и наклон на страната;

последователно се построяват другите два квадрата с общ връх третия връх на триъгълника и дължина на страна равна на страната на построения квадрат;

първата построена страна и в двата квадрата е инцидентна със съответна страна на триъгълника - на чертежа квадратите са съответно с цвят зелен и син.

За осъществяване на проверка дали и трите построени квадрата са вписани в триъгълника може да ползва теорема на Стюарт или алгоритъм за принадлежност на точка към триъгълник чрез ориентирано лице.

Потвърдете или отхвърлете твърдението: височината към основата на равнобедрения триъгълник е инцидентна с пресечната точка на страни от двата квадрата.

Проверете дали изведеният коефициент от Calabi може да се променя в тесни граници и условието за три еднакви вписани квадрати да се изпълнява - само два от върховете на квадратите ще са инцидентни със страна на референтния триъгълник. Друго твърдение: при промяна на ъгъла при върха квадратите, имащи страна част от бедрата, нямат обща точка с връх на триъгълника. При увеличаване на ъгъла при върха два от  квадрата не принадлежат изцяло на референтния триъгълник.

Разгледайте други основни типове примерни проекти, за чиято реализация се използва изчислителна геометрия. Потърсете допълнителен материал за: квадрат, вписан квадрат в триъгълник, височини в тъпоъгълен триъгълник, тъпоъгълен равнобедрен триъгълник.