В разгледаните основни задачи за диагонал на паралелепипед по въведени стойности на два елемента повърхнина, обем, основен/околен ръб се изчисляват стойности за останалите елементи на паралелепипед.
Да се изчисли P - сума от дължини на основни и околни ръбове на правоъгълен паралелепипед и S - пълна повърхнина на паралелепипед по въведени: So - околна повърхнина, V - обем на паралелепипед и e - диагонал на основата.
от e² = a² + b² следва: ( a+b)² = e² + 2*V/c;
от So = 2*(a+b)*c следва a+b = So/(2*c);
V = a*b*c c = V/(a*b);
(a + b)² = e² + 2*V/c;
(a + b)² = (So/(2*c))²;
e² + 2*V/c = (So/(2*c))²;
4*(e²)*(c²) + 8*V*c - So² = 0;
решава се квадратното уравнение с неизвестно c - околен ръб;
съставя се система уравнения:
от V = a*b*c следва a = V/(b*c);
от So = 2*(a+b)*c следва a+b = So/(2*c);
полага се a = V/(b*c);
решава се квадратното уравнение с неизвестно b - основен ръб;
V/(b*c) + b = So/(2*c);
b² - b*So/(2*c) + V/c = 0;
основен ръб: a = V/(b*c);
сума от дължините на околни и основни ръбове: P = 4*(a+ b + c).
пълна повърхнина: S = So + 2*a*b;
телесен диагонал: f = √(e² + c²);
Да се изчисли V - обем на паралелепипед и S - пълна повърхнина по въведени: So - околна повърхнина, P - сума от дължини на основни и околни ръбове на правоъгълен паралелепипед и e - диагонал на основата.
от формулата So = 2*(a+b)*c следва a+b = So/(2*c);
от формулата P = 4*(a+ b + c) следва P/4 = So/(2*c) + c;
решава се квадратното уравнение: 4*c² - P*c + So = 0 с неизвестно околен ръб c;
съставя се система уравнения:
a² + b² = e²;
(a + b)² = a² + b² + 2*a*b = e² + 2*a*b;
e² + 2*a*b = ( So/(2*c))²;
a*b = 0.5*(( So/(2*c))² - e²;
a+b = So/(2*c);
решава се системата уравнения за стойности на основни ръбове на паралелепипед;
пълна повърхнина: S = So + 2*a*b;
телесен диагонал: f = √(e² + c²);
обем на паралелепипед: V = a*b*c;
Да се изчисли So - околна повърхнина и V - обем на паралелепипед по въведени S - пълна повърхнина и e - диагонал на основата и P - сума от дължините на околни и основни ръбове.
От уравненията:
e² = a² + b²;
S = 2*a*c + 2*b*c + 2*a*b;
P = 4*(a+ b + c);
от формули за съкратено умножение (a+b+c)² = a² + b² + c² + 2*a*b + 2*a*c + 2*b*c = S + e² + c² се извежда c² = (P/4)² - S - e²;
изчислява се стойност за c = √( (P/4)² - S - e²);
от V = a*b*c следва a*b = V/c;
от (a+b)² = e² - 2*a*b се извежда: a + b = √(e² -2*V/c);
съставя се система уравнения:
a*b = V/c;
a + b = √(e² -2*V/c); замества се m = √(e² -2*V/c);
и след субституция a = m - b се решава квадратното уравнение:
(m - b)*b = V/c;
и се изчислява стойностите за b;
основен ръб: a = √(e² -2*V/c) - b;
околна повърхнина: So = 2*(a+b)*c;
телесен диагонал: f = √(e² + c²);
обем на паралелепипед: V = a*b*c;
Да се изчисли S - пълна повърхнина и f - телесен диагонал по въведени: V - обем на паралелепипед, P - сума от дължини на основни и околни ръбове на правоъгълен паралелепипед и e - диагонал на основата.
от уравненията:
диагонал e² = a² + b²;
от формула за обем V = a*b*c се извежда a*b = V/c;
от сума от дължините на околни и основни ръбове V = 4*(a + b + c) се извежда a+b = P/4 - c;
от степен на двучлен (a + b)² = a² + 2*a*b + b² се съставя квадратното уравнение:
(P/4 - c)² = e² + 2*V/c;
изчислява се околен ръб c и се взема положителната стойност;
изчислява се произведението a*b = V/c;
изчислява се сумата a+b = P/4 - c;
съставя се система уравнения:
a*b = V/c;
a + b = P/4 - c; замества се m = P/4 - c;
и след субституция a = m - b се решава квадратното уравнение:
( m - b)*b = V/c;
и се изчислява стойностите за b, ползва се положителния корен;
основен ръб: a = P/4 - c - b;
околна повърхнина: So = 2*(a+b)*c;
пълна повърхнина: S = So + 2*a*b;
телесен диагонал: f = √(e² + c²);
Да се изчисли S - пълна повърхнина и V - обем на паралелепипед по въведени So - околна повърхнина, P - сума от дължини на основни и околни ръбове на правоъгълен паралелепипед и f - телесен диагонал.
от уравнение за So = 2*(a+b)*c се извежда дължина на околен ръб c = So/(2a+2b);
от уравнение за телесен диагонал: f² = e² + c² се извежда c² = f² - a² - b² = f² - (a+b)² + 2ab;
от P = 4*(a+ b + c) следва c = P/4 - (a+b);
So/(2a+2b) = P/4 - (a+b);
2*(a+b)² - 2*(a+b)*P/4 + So = 0;
решава се квадратното уравнение с неизвестно a+b:
изчислява се околен ръб: c = P/4 - (a+b);
от f² = e² + c² = a² + b² + c² следва (a+b)² - 2ab = f² - c²;
съставя се и се решава система уравнения от вече изчислената стойност за сумата a + b = m;
a*b = (m² - f² + c²)/2;
a*(m-a) = (m² - f² + c²)/2;
a² - m*a + (m² - f² + c²)/2 = 0;
решава се квадратното уравнение с неизвестно a - основен ръб и се взема положителния корен;
основен ръб: b = m - a;
диагонал на основата: e = √(a² + b²);
пълна повърхнина: S = So + 2*a*b;
обем на паралелепипед: V = a*b*c.
Да се изчислят a,b - дължини на основни ръбове по въведени V - обем на паралелепипед, S - пълна повърхнина и f - телесен диагонал.
от уравненията:
телесен диагонал f² = a² + b² + c²;
пълна повърхнина: S = 2*a*c + 2*b*c + 2*a*b;
f² + S = (a + b + c)² ;
от уравнението P = 4*(a + b + c) следва (a + b + c) = P/4;
така P/4 = a + b + c = √(f² + S);
съставя се система уравнения:
от пълна повърхнина: (a+b)*2*c + 2*a*b = (P/4)² - f²;
от уравнение за обем на паралелепипед a*b*c = V;
a + b = P/4 - c;
a + b = ((P/4)² - f² - 2*a*b)/(2*c);
P/4 - c = ((P/4)² - f² - 2*a*b)/(2*c);
P/4 - c = ((P/4)² - f² - 2*V/c)/(2*c);
(P/4 - c )*(2*c) = (c*(P/4)² - c*f² - 2*V)/c;
(P/4 - c )*(2*c²) = (c*(P/4)² - c*f² - 2*V);
2*c^3 - P*c²/2 + ((P/4)² - f² )*c - 2*V = 0;
Решава се кубичното уравнение с неизвестно c и се взема положителния корен;
дължина на околен ръб: c;
Съставя се система от две уравнения с две неизвестни a,b:
a + b = P/4 - c;
a*b = V/c;
от корените на полученото квадратно уравнение a + V/(a*c) = = P/4 - c; се взема положителния корен за неизвестното a;
основен ръб на паралелепипед: b = P/4 - c - a;
от вече изчислената стойност за дължината на трите ръба на правоъгълния паралелепипед a, b и c се изчисляват:
диагонал на основата: e = √(a² + b²);
околна повърхнина: So = 2*(a+b)*c;
пълна повърхнина: S = So + 2*a*b;
Разгледайте други основни типове примери и задачи, чието решение ползва теореми и формули от областта изчислителна геометрия. Прочетете допълнителна информация за: паралелепипед, обем на паралелепипед, повърхнина на паралелепипед.