диагонал на паралелепипед

В разгледаните основни задачи за диагонал на паралелепипед по въведени стойности на два елемента повърхнина, обем, основен/околен ръб се изчисляват стойности за останалите елементи на паралелепипед.

Да се изчисли P - сума от дължини на основни и околни ръбове на правоъгълен паралелепипед и S - пълна повърхнина на паралелепипед по въведени: So - околна повърхнина, V - обем на паралелепипед и e - диагонал на основата.

от e² = a² + b² следва: ( a+b)² = e² + 2*V/c;

от So = 2*(a+b)*c следва a+b = So/(2*c);

V = a*b*c c = V/(a*b);

(a + b)² = e² + 2*V/c;

(a + b)² = (So/(2*c))²;

e² + 2*V/c = (So/(2*c))²;

4*(e²)*(c²) + 8*V*c - So² = 0;

решава се квадратното уравнение с неизвестно c - околен ръб;

съставя се система уравнения:

от V = a*b*c следва a = V/(b*c);

от So = 2*(a+b)*c следва a+b = So/(2*c);

полага се a = V/(b*c);

решава се квадратното уравнение с неизвестно b - основен ръб;

V/(b*c) + b = So/(2*c);

b² - b*So/(2*c) + V/c = 0;

основен ръб: a = V/(b*c);

сума от дължините на околни и основни ръбове: P = 4*(a+ b + c).

пълна повърхнина: S = So + 2*a*b;

телесен диагонал: f = √(e² + c²);

Да се изчисли V - обем на паралелепипед и S - пълна повърхнина по въведени: So - околна повърхнина, P - сума от дължини на основни и околни ръбове на правоъгълен паралелепипед и e - диагонал на основата.

от формулата So = 2*(a+b)*c следва a+b = So/(2*c);

от формулата P = 4*(a+ b + c) следва P/4 = So/(2*c) + c;

решава се квадратното уравнение: 4*c² - P*c + So = 0 с неизвестно околен ръб c;

съставя се система уравнения:

a² + b² = e²;

(a + b)² = a² + b² + 2*a*b = e² + 2*a*b;

e² + 2*a*b = ( So/(2*c))²;

a*b = 0.5*(( So/(2*c))² - e²;

a+b = So/(2*c);

решава се системата уравнения за стойности на основни ръбове на паралелепипед;

пълна повърхнина: S = So + 2*a*b;

телесен диагонал: f = √(e² + c²);

обем на паралелепипед: V = a*b*c;

Да се изчисли So - околна повърхнина и V - обем на паралелепипед по въведени S - пълна повърхнина и e - диагонал на основата и P - сума от дължините на околни и основни ръбове.

От уравненията:

e² = a² + b²;

S = 2*a*c + 2*b*c + 2*a*b;

P = 4*(a+ b + c);

от формули за съкратено умножение (a+b+c)² = a² + b² + c² + 2*a*b + 2*a*c + 2*b*c = S + e² + c² се извежда c² = (P/4)² - S - e²;

изчислява се стойност за c = √( (P/4)² - S - e²);

от V = a*b*c следва a*b = V/c;

от (a+b)² = e² - 2*a*b се извежда: a + b = √(e² -2*V/c);

съставя се система уравнения:

a*b = V/c;

a + b = √(e² -2*V/c); замества се m = √(e² -2*V/c);

и след субституция a = m - b се решава квадратното уравнение:

(m - b)*b = V/c;

и се изчислява стойностите за b;

основен ръб: a = √(e² -2*V/c) - b;

околна повърхнина: So = 2*(a+b)*c;

телесен диагонал: f = √(e² + c²);

обем на паралелепипед: V = a*b*c;

Да се изчисли S - пълна повърхнина и f - телесен диагонал по въведени: V - обем на паралелепипед, P - сума от дължини на основни и околни ръбове на правоъгълен паралелепипед и e - диагонал на основата.

от уравненията:

диагонал e² = a² + b²;

от формула за обем V = a*b*c се извежда a*b = V/c;

от сума от дължините на околни и основни ръбове V = 4*(a + b + c) се извежда a+b = P/4 - c;

от степен на двучлен (a + b)² = a² + 2*a*b + b² се съставя квадратното уравнение:

(P/4 - c)² = e² + 2*V/c;

изчислява се околен ръб c и се взема положителната стойност;

изчислява се произведението a*b = V/c;

изчислява се сумата a+b = P/4 - c;

съставя се система уравнения:

a*b = V/c;

a + b = P/4 - c; замества се m = P/4 - c;

и след субституция a = m - b се решава квадратното уравнение:

( m - b)*b = V/c;

и се изчислява стойностите за b, ползва се положителния корен;

основен ръб: a = P/4 - c - b;

околна повърхнина: So = 2*(a+b)*c;

пълна повърхнина: S = So + 2*a*b;

телесен диагонал: f = √(e² + c²);

Да се изчисли S - пълна повърхнина и V - обем на паралелепипед по въведени So - околна повърхнина, P - сума от дължини на основни и околни ръбове на правоъгълен паралелепипед и f - телесен диагонал.

от уравнение за So = 2*(a+b)*c се извежда дължина на околен ръб c = So/(2a+2b);

от уравнение за телесен диагонал: f² = e² + c² се извежда c² = f² - a² - b² = f² - (a+b)² + 2ab;

от P = 4*(a+ b + c) следва c = P/4 - (a+b);

So/(2a+2b) = P/4 - (a+b);

2*(a+b)² - 2*(a+b)*P/4 + So = 0;

решава се квадратното уравнение с неизвестно a+b:

изчислява се околен ръб: c = P/4 - (a+b);

от f² = e² + c² = a² + b² + c² следва (a+b)² - 2ab = f² - c²;

съставя се и се решава система уравнения от вече изчислената стойност за сумата a + b = m;

a*b = (m² - f² + c²)/2;

a*(m-a) = (m² - f² + c²)/2;

a² - m*a + (m² - f² + c²)/2 = 0;

решава се квадратното уравнение с неизвестно a - основен ръб и се взема положителния корен;

основен ръб: b = m - a;

диагонал на основата: e = √(a² + b²);

пълна повърхнина: S = So + 2*a*b;

обем на паралелепипед: V = a*b*c.

Да се изчислят a,b - дължини на основни ръбове по въведени V - обем на паралелепипед, S - пълна повърхнина и f - телесен диагонал.

от уравненията:

телесен диагонал f² = a² + b² + c²;

пълна повърхнина: S = 2*a*c + 2*b*c + 2*a*b;

f² + S = (a + b + c)² ;

от уравнението P = 4*(a + b + c) следва (a + b + c) = P/4;

така P/4 = a + b + c = √(f² + S);

съставя се система уравнения:

от пълна повърхнина: (a+b)*2*c + 2*a*b = (P/4)² - f²;

от уравнение за обем на паралелепипед a*b*c = V;

a + b = P/4 - c;

a + b = ((P/4)² - f² - 2*a*b)/(2*c);

P/4 - c = ((P/4)² - f² - 2*a*b)/(2*c);

P/4 - c = ((P/4)² - f² - 2*V/c)/(2*c);

(P/4 - c )*(2*c) = (c*(P/4)² - c*f² - 2*V)/c;

(P/4 - c )*(2*c²) = (c*(P/4)² - c*f² - 2*V);

2*c^3 - P*c²/2 + ((P/4)² - f² )*c - 2*V = 0;

Решава се кубичното уравнение с неизвестно c и се взема положителния корен;

дължина на околен ръб: c;

Съставя се система от две уравнения с две неизвестни a,b:

a + b = P/4 - c;

a*b = V/c;

от корените на полученото квадратно уравнение a + V/(a*c) = = P/4 - c; се взема положителния корен за неизвестното a;

основен ръб на паралелепипед: b = P/4 - c - a;

от вече изчислената стойност за дължината на трите ръба на правоъгълния паралелепипед a, b и c се изчисляват:

диагонал на основата: e = √(a² + b²);

околна повърхнина: So = 2*(a+b)*c;

пълна повърхнина: S = So + 2*a*b;

Разгледайте други основни типове примери и задачи, чието решение ползва теореми и формули от областта изчислителна геометрия. Прочетете допълнителна информация за: паралелепипед, обем на паралелепипед, повърхнина на паралелепипед.