лице на делтоид

Формулатта за лице на делтоид се извежда по начин присъщ на произволен ортогонален четириъгълник - полупроизведение на двата диагонала, като следствие от образуваните 4 правоъгълник триъгълника с катети част от диагоналите на референтния делтоид.

В разгледаните основни задачи за делтоид по въведени стойности на три елемента лице, страни, диагонали, ъгли, радиус на вписана/описана окръжност се изчисляват стойности за останалите елементи на делтоида.

По въведени дължини за страни a,b и диагонал e, свързващ върхове с двойка равни по дължина страни, да се изчисли P - периметър и S - лице на делтоид.

диагоналът e, свързващ върхове с двойка равни по дължина страни, се разполовява от пресечната си точка с диагонала f - от свойства на делтоид;

пресечната точка между двата диагонала разделя диагонала f на две отсечки f = m + n, всяка от които височина към основата на равнобедрен триъгълник;

n = √(a² - (e/2)²) - от теорема на Питагор за правоъгълен триъгълник AGD;

m = √(b² - (e/2)²) - от теорема на Питагор за правоъгълен триъгълник CGD;

дължина на диагонал: f = m + n;

лице на делтоид: S = e*f/2;

периметър на делтоид: P = 2*(a+b);

чрез косинусова теорема за триъгълника BAD се изчислява ъгъл α;

чрез косинусова теорема за триъгълника ABC се изчислява ъгъл γ;

чрез косинусова теорема за триъгълника BCD се изчислява ъгъл β;

от формула за лице на делтоид S = P*r/2 се изчислява радиус на вписаната окръжност r = 2*S/P;

По въведени дължини за страни a,b и диагонал f, свързващ върхове с двойка различни по дължина страни, да се изчисли P - периметър и S - лице на делтоид.

от свойство на делтоид диагоналът f разполовява делтоида на два еднакви (равнолицеви) триъгълника;

изчислява се лице на триъгълник ABC по формула на Херон;

St = 2*√p*(p-a)*(p-f)*(p-b) за полупериметър p = (a + b + f)/2;

лице на делтоид: S = 2*St;

от формула за лице на делтоид S = e*f/2 се изчислява дължина на диагонал: e = 2*S/f;

периметър на делтоид: P = 2*(a+b);

чрез косинусова теорема за триъгълника BAD се изчислява ъгъл α;

чрез косинусова теорема за триъгълника ABC се изчислява ъгъл γ;

чрез косинусова теорема за триъгълника BCD се изчислява ъгъл β;

от формула за лице на делтоид S = P*r/2 се изчислява радиус на вписаната окръжност r = 2*S/P;

По въведени дължини за страни a,b да се изчислят e,f - диагонали и S - лице на делтоид.

Само около правоъгълен делтоид може да се опише окръжност с диаметър диагонал f = 2*R;

от теорема на Питагор f = √(a² + b²);

полупериметър на триъгълник ACD: p = 0.5*(a+b+f);

Sabd = f*e/4 = √(p*(p-a)*(p-b)*(p-f))

лице на делтоид: S = 2*Sabd;

диагонал e = 2*S/f;

периметър на делтоид: P = 2*(a+b);

чрез косинусова теорема за триъгълника BAD се изчислява ъгъл α;

чрез косинусова теорема за триъгълника ABC се изчислява ъгъл γ;

чрез косинусова теорема за триъгълника BCD се изчислява ъгъл β;

от формула за лице на делтоид S = P*r/2 се изчислява радиус на вписаната окръжност r = 2*S/P;

По въведени дължини за страни a,b и S - лице на делтоид да се изчислят e,f - диагонали в същия делтоид.

диагоналът f, свързващ върхове с двойка различни по дължина страни, разполовява делтоида на два еднакви (равнолицеви) триъгълника - от свойство на делтоид;

от формула за лице на триъгълник (S = 2*St) по две страни и сключения между тях ъгъл sin(C) = 2*St/(a*b) се изчислява ъгъл γ срещулежащ на диагонала f: γ = arcsin( S/(a*b));

дължина на диагонал: f = √(a² + b² - 2*a*b*cos(γ) - чрез косинусова теорема, знакът се определя в зависимост вида/размера на ъгъл γ;

от формула за лице на делтоид S = e*f/2 се изчислява дължина на диагонал: e = 2*S/f;

периметър на делтоид: P = 2*(a+b);

от формула за лице на делтоид S = P*r/2 се изчислява радиус на вписаната окръжност r = 2*S/P;

чрез косинусова теорема за триъгълника BAD се изчислява ъгъл α;

чрез косинусова теорема за триъгълника BCD се изчислява ъгъл β;

По въведени дължини за страни a,b и ъгъл α да се изчислят P - периметър, S - лице и e,f - диагонали в същия делтоид.

от свойство на делтоид диагоналът f, свързващ върхове с двойка различни по дължина страни, разделя делтоида на два различни равнобедрени триъгълника ABD, BCD;

от косинусова теорема за равнобедрен триъгълник ABD: e² = a² + a² - 2*a*a*cos(α) = 2*a²*(1 -cos(α)) се изчислява дължина на диагонал e = a*√(2*(1-cos(α)));

от правоъгълен триъгълник AGD n = √(a² - (e/2)²);

от правоъгълен триъгълник CGD m = √(b² - (e/2)²);

дължина на диагнал: f = m + n;

лице на делтоид: S = e*f/2;

периметър на делтоид: P = 2*(a+b);

от формула за лице на делтоид S = P*r/2 се изчислява радиус на вписаната окръжност r = 2*S/P;

чрез косинусова теорема за триъгълника BCD се изчислява ъгъл β;

чрез косинусова теорема за триъгълника ACD се изчислява ъгъл γ;

По въведени дължини за страни a,b и ъгъл β да се изчисли P - периметър и S - лице на делтоид.

от косинусова теорема e² = b² + b² - 2*b*b*cos(β) = 2*b²*(1 - cos(β)) дължина на диагонал: e = b*√(2*(1 - cos(β));

правоъгълните триъгълници AGB, CGB имат общ катет с дължина e/2- диагоналът e се разполовява от диагонала f;

m = √(b² - (e/2)²) - от теорема на Питагор;

n = √(a² - (e/2)²) - от теорема на Питагор;

f = m+n;

лице на делтоид: S = e*f/2;

периметър на делтоид: P = 2*(a+b);

от формула за лице на делтоид S = P*r/2 се изчислява радиус на вписаната окръжност r = 2*S/P;

чрез косинусова теорема за триъгълника BAD се изчислява ъгъл α;

чрез косинусова теорема за триъгълника ACD се изчислява ъгъл γ;

По въведени дължини за страни a,b и и сключения между тях ъгъл γ да се изчисли P - периметър и S - лице на делтоид.

разглежда се триъгълник ABC с височина hf = e/2 към диагонала f;

f = √(a² + b² - 2*a*b*cos(γ) - от косинусова теорема;

лице на триъгълника St = 2*√p*(p-a)*(p-a)*(p-f) полупериметър: p = (a + a + f)/2;

от формула за лице на триъгълник полупроизведение височина и срещулежаща страна hf = 2*S/f;

e = 2*hf - диагоналът e се разполовява от диагонала f;

лице на делтоид: S = e*f/2 = a*b*cos(γ);

периметър на делтоид: P = 2*(a+b);

от формула за лице на делтоид S = P*r/2 се изчислява радиус на вписаната окръжност r = 2*S/P;

чрез косинусова теорема за триъгълника BAD се изчислява ъгъл α;

чрез косинусова теорема за триъгълника BCD се изчислява ъгъл β;

По въведени дължини за: страна a и диагонали e,f да се изчисли P - периметър, S - лице на делтоид и ъглите α, β, γ.

лице на делтоид: S = e*f/2;

диагоналът, свързващ върхове с двойка различни по дължина страни, f се представя като сума от отсечки получени при пресичането му с перпендикулярния диагонал: f = m+n;

разглеждат се две двойки (AGB,AGD) (CGB,CGD) еднакви правоъгълни триъгълници, в които катети са частите m,n на диагонала f;

n = √(a² - (e/2)²) - от теорема на Питагор за правоъгълен триъгълник;

m = f - n;

b = √((m² + (e/2)²) - диагоналът, свързващ върхове на делтоида с различни по дължина страни, се разполовява от диагонала f;

периметър на делтоид: P = 2*(a+b);

от формула за лице на делтоид S = P*r/2 се изчислява радиус на вписаната окръжност r = 2*S/P;

чрез косинусова теорема за триъгълника BAD се изчислява ъгъл α;

чрез косинусова теорема за триъгълника BCD се изчислява ъгъл β;

чрез косинусова теорема за триъгълника ABC се изчислява ъгъл γ;

По въведени дължини за: страна a, диагонал e и периметър P да се изчисли f - втория диагонал и S - лице на делтоид.

страна на делтоид b = 0.5*(P - a);

диагоналът, свързващ върхове с двойка различни по дължина страни, f се представя като сума от отсечки получени при пресичането му с перпендикулярния диагонал: f = m+n;

разглеждат се две двойки (AGB,AGD) (CGB,CGD) еднакви правоъгълни триъгълници, в които катети са частите m,n на диагонала f;

n = √(a² - (e/2)²) - от теорема на Питагор за правоъгълен триъгълник AGD;

m = √(b² - (e/2)²) - от теорема на Питагор за правоъгълен триъгълник CGD;

диагонал f = m+n;

лице на делтоид: S = e*f/2;

от формула за лице на делтоид S = P*r/2 се изчислява радиус на вписаната окръжност r = 2*S/P;

чрез косинусова теорема за триъгълника BAD се изчислява ъгъл α;

чрез косинусова теорема за триъгълника BCD се изчислява ъгъл β;

чрез косинусова теорема за триъгълника ABC се изчислява ъгъл γ;

По въведени дължини за: страна a, диагонал e и радиус на описана окръжност R да се изчисли f - втория диагонал и S - лице на делтоид.

Само около правоъгълен делтоид може да се опише окръжност ъгъл β = π/2;

диагонал f = 2*R;

страна b = √(f² - a²) - от теорема на Питагор

лице на делтоид S = e*f/2;

периметър на делтоид: P = 2*(a+b);

от формула за лице на делтоид S = P*r/2 се изчислява радиус на вписаната окръжност r = 2*S/P;

чрез косинусова теорема за триъгълника BAD се изчислява ъгъл α;

чрез косинусова теорема за триъгълника BCD се изчислява ъгъл β;

чрез косинусова теорема за триъгълника ABC се изчислява ъгъл γ;

По въведени дължини за: страна a, диагонал e и S - лице на делтоид да се изчисли периметър на делтоид и радиус на вписаната окръжност.

от формулата S = e*f/2 дължина на диагонал f = 2*S/e;

от правоъгълния триъгълник AGD и формула на Питагор n = √(a² - (e/2)²)

от правоъгълния триъгълник CGD с катети CG = m = f -n, DG = e/2 се изчислява дължина на хипотенузата и страна на делтоида b = √(m² + (ef/2)²);

периметър на делтоид: P = 2*(a+b);

от формула за лице на делтоид S = P*r/2 се изчислява радиус на вписаната окръжност r = 2*S/P;

последователно се изчисляват ъглите α, β, γ чрез прилагане на косинусова теорема за триъгълника ACD;

Разгледайте други основни типове примери и задачи, чието решение ползва теореми и формули от областта изчислителна геометрия. Прочетете допълнителна информация за: делтоид, описан делтоид, вписан делтоид, косинусова теорема, теорема на Питагор, делтоид и подобни квадрати.