паралелепипед

Паралелепипед е вид 4-стенна призма с основа успоредник, тяло с 8 върха, 12 ръба и 6 стени (двойка успоредни основи и 2 двойки успоредни стени). В общия случай основите на паралелепипед са успоредник, правоъгълник, ромб, квадрат. В представените задачи се разглежда вариант на правоъгълен паралелепипед - всяка стена е правоъгълник и е перпендикулярна на двойката успоредни основи.

Свойства:

паралелепипедът е централно-симетрично тяло спрямо средата на телесния си диагонал;

телесните диагонали (конкурентни отсечки) имат обща пресечна точка и се разполовяват от нея;

всяка двойка успоредни ръбове са равни по дължина;

всяка двойка успоредни стени/основи са еднакви успоредници, с равни съответни страни, ъли и лице.

в правоъгълен паралелепипед, за телесния диагонал f, е валида теоремата на трите перпендикуляра: f² = a²+ b² + c² (подобна е теорема на Питагор).

Частният случай на правоъгълен паралелепипед с равни основни и околни ръбове е куб, едно от платоновите тела.

В разгледаните основни задачи за диагонал на паралелепипед по въведени стойности на два елемента повърхнина, обем, основен/околен ръб се изчисляват стойности за останалите елементи на паралелепипед. Представени са само параметрични уравнения - подход използван в правоъгълник, успоредник, обем на конус и призма.

Да се изчисли f - телесен диагонал и V - обем на паралелепипед по въведени S - околна повърхнина, P - сума от дължини на основни и околни ръбове на паралелепипед и b - основен ръб на паралелепипед.

от уравнение за околна повърхнина So = 2*(a+b)*c = 2ac + 2bc следва дължина на околен ръб: c = So/(2*a + 2*b)

от уравнение за сума от дължините на ръбове в правоъгълен паралелепипед: P = 4*(a+ b + c) следва a + b = P/4 - c;

замества се m = a + b и се решава квадратното уравнение с неизвестно a+b;

So/(2*m) = (P/4)-m; двете страни на равенството се умножават с 2*m;

2*m² - P*m/2 + So = 0;

взема се положителния корен;

a = m - b;

от теорема на Питагор дължина на диагонал на основата: e = √(a² + b²);

от теорема на Питагор дължина на телесен диагонал: f = √(e² + c²);

пълна повърхнина: S = So + 2*a*b;

обем на паралелепипед: V = a*b*c;

Да се изчисли P - сума от дължини на основни и околни ръбове на паралелепипед и f - телесен диагонал по въведени S - пълна повърхнина, V - обем на паралелепипед и a - основен ръб на паралелепипед.

от формула за обем на паралелепипед V = a*b*c се изчислява произведението между основен и околен ръб a*c = V/b;

от формула за пълна повърхнина S = 2*(a+b)*c + 2*a*b = 2*a*c + 2*b*c + 2*a*b = 2*b*(b+c) + 2*V/b се представя като сума основен и околен ръб a + c = (S - 2*V/b)/(2*b) = S/(2*b) -V/b²;

Решава се системата уравнения:

a + c = S/(2*b) - V/b²;

a*c = V/b; замества се a = V/(b*c);

V/(b*c) + c = S/(2*b) - V/b²;

2*V*b + 2*b²*c² - S*b*c + 2*V*c = 0;

2*b²*c² + (2*V - S*b)*c + 2*V*b = 0;

решава се квадратното уравнение с неизвестно c и се взема положителния корен;

основен ръб: a = V/(b*c);

околна повърхнина: So = S - 2*a*b;

сума от дължини на основни и околни ръбове на паралелепипед: P = 4*(a+ b + c);

от теорема на Питагор дължина на диагонал на основата: e = √(a² + b²);

от теорема на Питагор дължина на телесен диагонал: f = √(e² + c²);

Да се изчисли V - обем на паралелепипед и f - телесен диагонал по въведени P - сума от дължини на основни и околни ръбове на паралелепипед, S - пълна повърхнина и b - основен ръб на паралелепипед.

от уравнението P = 4*(a+ b + c) следва a = P/4 - b - c;

от уравнението S = 2*a*c + 2*b*c + 2*a*b следва 2*b*(a+c) + 2*a*c - S = 0;

след заместване на a = P/4 - b - c;

2*b*(P/4 - b - c + c)+ 2*(P/4 - b - c)*c - S = 0;

b*P/2 - 2*b²+ P*c/2 -2*b*c - 2*c² - S = 0;

решава се квадратното уравнение с неизвестно c и се взема положителния корен;

2*c² + (2*b - P/2)*c + S -b*P/2 + 2*b² = 0;

използва се положителния корен за c;

a = P/4 - a - c;

от теорема на Питагор дължина на диагонал на основата: e = √(a² + b²);

от теорема на Питагор дължина на телесен диагонал: f = √(e² + c²);

околна повърхнина: So = 2*(a+b)*c;

обем на паралелепипед: V = a*b*c;

Да се изчисли S - пълна повърхнина и f - телесен диагонал по въведени V - обем на паралелепипед, P - сума от дължини на основни и околни ръбове на паралелепипед и b - основен ръб на паралелепипед.

от обем на паралелепипед: a*c = V/b;

от формула за сума от дължини на основни и околни ръбове: a + c = P/4- b;

се съставя система от 2 уравнения с две неизвестни:

основен ръб: a = V/(b*c);

V/(b*c) + c = P/4- b;

4*b*c² - (P - 4*b)*b*c + 4*V = 0;

решава се квадратното уравнение с неизвестно c и се взема положителния корен;

околен ръб a = V/(c*b);

диагонал на основата: e = √(a² + b²);

телесен диагонал: f = √(e² + c²);

околна повърхнина: So = 2*(a+b)*c;

пълна повърхнина: S = So + 2*a*b;

Да се изчисли S - пълна повърхнина и V - обем на паралелепипед по въведени So - околна повърхнина на паралелепипед, e - диагонал на основата и c - околен ръб.

от уравнението So = 2*(a+b)*c;

a+b = So/(2*c);

a*b = 0.5*((a+b)² - e²) = 0.5*( (So/(2*c))² - e²);

От системата уравнения:

a+b = So/(2*c);

a*b = 0.5*((a+b)² - e²) = 0.5*( (So/(2*c))² - e²);

се изчислява дължина на основните ръбове a,b;

сума от дължините на околни и основни ръбове: P = 4*(a+ b + c);

телесен диагонал: f = √(e² + c²);

пълна повърхнина: S = So + 2*a*b;

обем на паралелепипед: V = a*b*c;

Да се изчислят основните ръбове a,b и V - обем на паралелепипед по въведени S - пълна повърхнина, c - околен ръб и e - диагонал на основата.

телесен диагонал: f = √(e² + c²);

от уравнения за пълна повърхнина и телесен диагонал: S + f² = 2ac + 2bc + 2ab + a² + b² + c² = (a + b + c)²;

a + b + c = √(S + f²);

a + b = √(S + f²) - c;

от (a + b)² = a² + b² + 2*a*b = e² + 2*a*b следва a*b = ((a + b)² - e²)/2;

субституция m = √(S + f²) - c;

в системата уравнения:

a + b = m;

a*b = (m² - e²)/2;

извършва се субституция b = m-a, съставя се квадратно уравнение за неизвестната основен ръб на паралелепипед;

от изчислените корени се взема положителната стойност за основен ръб;

се изчислява дължина на основните ръбове a,b;

сума от дължините на околни и основни ръбове: P = 4*(a+ b + c);

околна повърхнина: So = 2*(a+b)*c;

обем на паралелепипед: V = a*b*c;

Да се изчисли S - пълна повърхнина и P - сума от дължини на основни и околни ръбове на паралелепипед по въведени V - обем на паралелепипед, c - околен ръб и e - диагонал на основата.

от системата уравнения:

a² + b² = e²;

a*b = V/c;

се изчислява дължина на основните ръбове a,b;

околна повърхнина: So = 2*(a+b)*c;

пълна повърхнина: S = So + 2*a*b;

обем на паралелепипед: V = a*b*c;

сума от дължините на околни и основни ръбове: P = 4*(a+ b + c);

Да се изчисли S - пълна повърхнина и V - обем на паралелепипед по въведени P - сума от дължини на основни и околни ръбове на паралелепипед, c - околен ръб и e - диагонал на основата.

от системата уравнения:

a + b = P/4 - c;

a² + b² = e²;

се изчислява дължина на основните ръбове a,b;

телесен диагонал: f = √(e² + c²);

околна повърхнина: So = 2*(a+b)*c;

пълна повърхнина: S = So + 2*a*b;

обем на паралелепипед: V = a*b*c;

Да се изчисли S - пълна повърхнина и V - обем на паралелепипед по въведени So - околна повърхнина на паралелепипед, c - околен ръб и f - телесен диагонал.

диагонал на основата: e = √ (f² - c²);

a + b = So/(2*c);

от системата уравнения:

a² + b² = e²;

a + b = So/(2*c);

се изчислява дължина на основните ръбове a,b;

( So/(2*c) - b)² + b² = e² от a = So/(2*c) - b;

2*b² - 2*So*b/(2*c) + (So/(2*c))² - e² = 0;

от квадратното уравнение с неизвестно b се взема положителния корен;

a = So/(2*c) - b;

сума от дължините на околни и основни ръбове: P = 4*(a+ b + c);

пълна повърхнина: S = So + 2*a*b;

обем на паралелепипед: V = a*b*c;

Да се изчисли P - сума от дължини на основни и околни ръбове на паралелепипед и V - обем на паралелепипед по въведени S - пълна повърхнина, c - околен ръб и f - телесен диагонал.

От уравненията:

S = So + 2*a*b = 2ac + 2bc + 2ab;

от уравнение за телесен диагонал f = √(e² + c²) = √(a² + b² + c²);

(a + b + c)² = S + f²;

сума от дължините на околни и основни ръбове: P = 4*√(S + f²);

диагонал на основата: e = √(f² - c²);

от уравнението за диагонал на основата e² = a² + b²;

и сума от дължини на основни и околни ръбове на паралелепипед a + b = √(S + f²) - c;

се съставя система от две уравнения с две неизвестни a и b:

a = √(S + f²) - c - b замества се m = √(S + f²) - c;

(m - b)² + b² - e² = 0;

взема се положителния корен за дължина на ръб на основата b;

изчислява се ръб на основата a = V/(b*c);

околна повърхнина: So = 2*(a+b)*c

обем на паралелепипед: V = a*b*c;

Да се изчисли S - пълна повърхнина и P - сума от дължини на основни и околни ръбове на паралелепипед по въведени V - обем на паралелепипед, c - околен ръб и f - телесен диагонал.

от уравнение за телесен диагонал f² = e² + c² се извежда дължина на диагонала на основата e² = f² - c² = a² + b²;

от уравнение за обем на паралелепипед V = a*b*c се извежда лице на основата на правоъгълен паралелепипед a*b = V/c;

съставя се система от две уравнения с две неизвестни a и b:

лице на основа: a*b = V/c;

от теорема на Питагор: a² + b² = e² ;

взема се положителния корен за дължина на ръб на основата

сума от дължините на околни и основни ръбове: P = 4*(a + b + c);

околна повърхнина: So = 2*(a + b)*c;

пълна повърхнина: S = So + 2*a*b;

Разгледайте други основни типове примери и задачи, чието решение ползва теореми и формули от областта изчислителна геометрия. Прочетете допълнителна информация за: диагонал на паралелепипед, обем на паралелепипед, повърхнина на паралелепипед.