теорема за симедиана

В задачата теорема за симедиана се разглеждат: триъгълник ABC, описана окръжност с център т.О, медиана CM, ъглополовяща CL, двойка допирателни AN, BN с допирни точки към описаната окръжност крайните точки на страната AB. Извежда се нагледно доказателство за равенство на ъглите:

∢BCM = ∢ACN

Симедиана в триъгълник е отсечка, свързваща връх на триъгълника със срещулежащата му страна. От един и същи връх на триъгълника симедианата е ъглово симетрична на медианата спрямо ъглополовящата в синьо.

Съществуват няколко алгоритъма за нагледно доказателство свързани с изчисляване и сравняване на ъгли между прави:

а) директно изчисляване и сравняване на ъглите ∢BCM и ∢ACN;

б) основан на правилото: ако от две равни стойности от всяка се извади равна величина то крайното равенство се запазва.

Разглежда се вторият алгоритъм чрез допълнително построяване на ъглополовяща CL - какъвто е и подходът при дефиниране на симедиана.

При изчисляване на ъглите може да се ползва косинусова теорема, теорема на ъглополовящата, изчисляване на ъгъл между две прави.

Алгоритъмът на построителната задача теорема за симедиана съдържа следните стъпки:

посочват се 3 не колинеарни точки и се построява референтния триъгълник ABC;

построява се медиана CM;

изчисляват се координати за център т.О, дължина на радиус и се построява описана окръжност;

последователно се построяват прави m, n като всяка от тях е инцидентна с крайна точка на страната AB и е перпендикулярна на радиус от описаната окръжност;

m ⊥ OA;

n ⊥ OB;

изчисляват се координати на тяхната пресечна точка N = m x n;

В задачата теорема за симедиана се ползват допирателни NA, NB;

построява се отсечка CN;

По избран от изброените или подобен подход се изчислява стойност на разглежданите ъгъл:

а) чрез  алгоритъм ъгъл между две прави се изчисляват ъглите ∢BCM и ∢ACN;

б) чрез косинусова теорема за ∆ACN  и ∆BCM се изчисляват ъглите ∢BCM и ∢ACN;

в) чрез косинусова теорема за ∆ABC се изчислява ∢ACL = ∢BCL = 0.5*∢ACB;  за ∆SCM се изчисляват ъглите SCL, MCL чрез теорема на ъглополовяща: ъглополовящата на вътрешен ъгъл на триъгълника дели срещулежащата му страна на отсечки, чиито дължини са в отношение равно на отношението на другите две страни.

получаването на конгруентни стойности за изчислените ъгли е доказателство за основното твърдение в задачата теорема за симедиана.

Изпълнението на описания алгоритъм дава доказателство на твърдението, че точките O, M, N са  колинеарни.

a) от еднаквост на двата правоъгълни триъгълника OAN, OBN;

OM е отсечка от симетрала към AB и отсечка от ъглополовяща на ∢AOB - от свойство на двойка допирателни с обща точка

б) по условие четириъгълникът OANB е правоъгълен делтоид:

OA = OB = R - радиус на описаната окръжност;

OA ⊥ AN; OB ⊥ BN - свойство на допирателна по отношение радиус на окръжност в точката на допиране;

AN = BN - от свойство на допирателни от външна точка към окръжност;

ON ⊥ AB - от свойство на диагонали в делтоид

AM = BM по условие т.М е пета на медиана и от свойство на пресечна точка между диагонали (ON, AB) в делтоид.

От твърденията следва, че точките O, M, N са три колинеарни точки.

Разгледайте други основни типове примерни проекти, за чиято реализация се използват теореми от изчислителна геометрия. Потърсете допълнителен материал за:външно полувписана и ъгли, ъгли в триъгълник, отношение между ъгли в триъгълник, допирателна, описана и полувписана окръжност.