ъглополовяща в правоъгълен триъгълник

В разгледаните основни задачи за свойства на ъглополовяща в правоъгълен триъгълник се въвеждат стойности на два линейни размера или ъгъл и линеен размер се изчисляват дължини на катети и хипотенуза, периметър и лице на правоъгълен триъгълник.

Използваните са формули за ъглополовяща са:

дължина на ъглополовяща: Lc² = AC*BC - AL*BL;

отношение между дължини на страни явяващи се рамена на ъгъла: AC/BC = AL/BL;

петата на ъглополовящата дели срещулежащата страна на отсечки с дължина:

AL = AC*AB/(BC+AC);

BL = BC*AB/(BC+AC);

За правоъгълен триъгълник ABC са дадени размери на: дължина на ъглополовяща към хипотенуза CL = lc и лице на триъгълника Sabc. Да се изчислят страните на триъгълника.

от формули за дължина на ъглополовяща в триъгълник:

lc² = a*b - (a*b*c²)/(a+b)²;

замества се: a*b = 2*S - от формула за лице на правоъгълен триъгълник;

lc² = 2*S - (2*S*c²)/(a+b)²;

от теорема на Питагор: c² = a² + b² и от формула за съкратено умножение (a+b)² = a² + 2*a*b + b² = c² + 4*S

lc² = 2*S - (2*S*c²)/(c² + 4*S);

lc² * (c² + 4*S) - 2*S*(c² + 4*S) + 2*S*c² = 0;

c²*lc² + 4*S*lc² - 8*S² = 0

дължина на хипотенуза AB: c = √(( 8*S² - 4*S*lc²)/lc²);

съставя се система уравнения:

a*b = 2*S;

a + b = √ (c² + 4*S);

решава се системата уравнение за дължина на катет AC = b;

дължина на катет ВС: а = m/b;

За правоъгълен триъгълник ABC са дадени размери на: дължина на ъглополовяща към хипотенуза CL = lc и дължина на хипотенуза AВ = с. Да се изчислят страните на триъгълника.

от формули за дължина на ъглополовяща в триъгълник:

lc² = a*b - (a*b*c²)/(a+b)²;

замества се m = a*b;

lc² = m - (m*c²)/(a+b)²;

от теорема на Питагор: c² = a² + b² и от формула за съкратено умножение (a+b)² = a² + 2*a*b + b² = c² +2*m

lc² = m - (m*c²)/(c² + 2*m);

lc² * (c² + 2*m) - m*(c² + 2*m) + m*c² = 0;

lc²*c² + 2*lc²*m - 2*m² = 0;

2*m² - 2*lc²*m - lc²*c² = 0;

решава се квадратното уравнение с неизвестно m и се взема положителната стойност на корена;

съставя се система уравнения:

a*b = m;

a + b = √ (c² +2*m);

решава се системата уравнение за дължина на катет AC = b;

дължина на катет ВС: а = m/b;

дължина на хипотенуза AB: c = √(a² + b²) от теорема на Питагор;

За правоъгълен триъгълник ABC са дадени размери на: дължина на ъглополовяща към хипотенуза CL = lc и дължина на катет AC = b. Да се изчислят страните на триъгълника.

За триъгълника ACL са известни дължини на две страни AC =b, CL = lc и сключения между тях ъгъл ACL = 45⁰;

AL² = b² + lc² - 2*b*lc*cos(45⁰) - от косинусова теорема;

чрез алгоритми представени в намиране елементи на триъгълник се изчислява острия ъгъл BAC - синусова теорема за радиус на описаната окръжност около триъгълник ALC, отново синусова за изчисляване sin(BAC) и прилагане на обратна тригонометрична функция;

дължина на катет BC: a = b*tan(BAC);

дължина на хипотенуза AB: c = √(a² + b²);

За правоъгълен триъгълник ABC са дадени размери на: дължина на ъглополовяща към хипотенуза CL = lc и дължина на катет BC = a. Да се изчислят страните на триъгълника.

За правоъгълен триъгълник ABC са дадени размери на: дължина на ъглополовяща към катет BC: АL = lа и дължина на катет AC = b. Да се изчислят страните на триъгълника.

разглежда се правоъгълен триъгълник ACL с хипотенуза AL = la, катет АС = b и търсения остър ъгъл между тях ∠LAC = α/2;

от теорема на Питагор CL = √(la² - b²);

в триъгълник с известни дължини на страни е възможно с различни алгоритми да се изчислят стойностите на ъглите му- най-разпространените са чрез синусова или косинусова теорема;

изчислява се стойност за ъгъл LAC;

изчислява се стойност за ъгъл BAC = 2*LAC = α;

изчислява се дължина на катет BC: a = b*tan(α);

изчислява се дължина на хипотенуза АB: с = b/cos(α);

За правоъгълен триъгълник ABC са дадени размери на: дължина на ъглополовяща към катет AC: BL = lb и дължина на катет BC = a. Да се изчислят страните на триъгълника.

В правоъгълен триъгълник ABC с хипотенуза АВ е построена ъглополовяща AL на острия ъгъл BAC. Тя дели срещулежащия катет ВС на отсечки с дължина BL = bl, CL = cl. Да се изчислят страните на триъгълника.

изчислява се дължина на катет BC: a = m+n;

от формула за ъглополовяща AC/AB = CL/BL; b/c = cl/bl;

прилага се за дължина на катет AC: b = c*cl/bl;

от теорема на Питагор: c² = a² + b²;

c² = a² + (c*cl/bl)²;

c²*(bl² - cl²) = (a*bl)²;

изчислява се дължина на хипотенуза АB: c = a*bl/√(bl² - cl²);

изчислява се дължина на катет AC: b = c*cl/bl;

В правоъгълен триъгълник ABC с хипотенуза АВ е построена ъглополовяща CL на правия ъгъл. Тя дели срещулежащата хипотенуза АВ на отсечки с дължина AL = аl, BL = bl. Да се изчислят страните на триъгълника.

изчислява се дължина на хипотенуза AB: c = al+bl;

от свойство на ъглополовяща в триъгълник: AC/BC =bl/al се извеждат: b = a*bl/al, както и al = b*c/(a+b); bl = a*c/(a+b);

от теорема на Питагор : а² + b² = c² се извежда а² + а²*(bl/al)² = c²;

изчислява се дължина на катет BC: a = √( c²/(1+(bl/al)²))

изчислява се дължина на катет AC: b = a*bl/al;

В правоъгълен триъгълник ABC с хипотенуза АВ е построена ъглополовяща AL на острия ъгъл BAC. Дадени са стойности за ъглополовящата AL = la и острия ъгъл BAC = α. Да се изчислят страните на триъгълника ABC.

ъгъл ABC: β = 90⁰ - α;

за триъгълника ABL, ъгъл ALB: φ = 180⁰ - α/2 - β;

от формули за лице на триъгълник по страна и двата прилежащи ъгъла S = 0.5*sin(β)*sin(γ)*a²/sin(β+γ) = 0.5*sin(α)*sin(γ)*b²/sin(α+γ) = 0.5*sin(α)*sin(β)*c²/sin(α+β)

се изчислява се лице на триъгълника ABL: Sabl = 0.5*sin(α/2) * sin(β)*AL²/sin(α/2 + β)

за триъгълника ABL се изчислява дължина на височина LH към АВ: h = la*sin(α/2);

от формула за лице на триъгълник ABL се изчислява дължина на хипотенуза AB: c = 2*Sabl/h;

изчислява се дължина на катет BC: a = c*sin(α)

изчислява се дължина на катет AC: a = c*cos(α);

В правоъгълен триъгълник ABC с хипотенуза АВ е построена ъглополовяща AL на острия ъгъл BAC. Дадени са стойности за ъглополовящата AL = la и и нейния срещулежащ остър ъгъл ABC = β. Да се изчислят страните на триъгълника ABC.

В правоъгълен триъгълник ABC с хипотенуза АВ е построена ъглополовяща AL на острия ъгъл BAC и медиана CM към хипотенузата. Дадени са стойности за дължини на отсечките CD и DM, на които ъглополовящата AL разделя медианата CM. Да се изчислят страните на триъгълника ABC.

AC/AM = CD/DM - от свойство на ъглополовяща;

CM = CD + DM - по условие;

AM = CM - следствие от теорема на Талес;

изчислява се дължина на катет AC: b = AM*CD/DM;

изчислява се дължина на хипотенуза AB: c = 2*AM = 2*CM - по условие;

изчислява се дължина на катет BC: a = √(c² - b²) - от теорема на Питагор;

В правоъгълен триъгълник ABC с хипотенуза АВ е построена ъглополовяща AL на острия ъгъл BAC и височина CH към хипотенузата. Дадени са стойности за дължини на отсечките CD и DН, на които ъглополовящата AL разделя височината CH. Да се изчислят страните на триъгълника ABC.

Разглежда се правоъгълен триъгълник AHC с хипотенуза AC = b, катет AH = ha (проекция на катета AC от правоъгълния триъгълник ABC) и катет CH (височина към хипотенузата в триъгълника ABC).

CH = CD + DН - по условие;

AC/AH = CD/DH - от свойство на ъглополовяща AL;

AH² + CH² = AC² - от теорема на Питагор;

AH² + CH² = (CD/DH)²

изчислява се AH = √( (CD/DH)² - CH² );

изчислява се катет AC: b = √( AH² + CH² );

изчислява се остър ъгъл BAC: α = atn(hc/b) - чрез обратни тригонометрични функции;

изчислява се хипотенуза AB: c = b/cos(α);

изчислява се катет BC: a = √( c² - b² ) - от формула на Питагор;

В правоъгълен триъгълник ABC с хипотенуза АВ е построена ъглополовяща CL на прави ъгъл. Дадени са стойности за дължина CL = lc и остър ъгъл BAC = α. Да се изчислят страните на триъгълника ABC.

ъглополовящата lc разделя правоъгълния триъгълник на 2 триъгълника съответно със страни: катет, ъглополовяща към хипотенуза и отсечка от хипотенуза, с ъгли 45⁰, α, 180-45⁰- α; 45⁰ и съответно 45⁰, β, 180-45⁰- β,

от формула за лице на триъгълник по страна и прилежащите два ъгъла: S = 0.5*sin(B)*sin(C)*a²/sin(B+C) = 0.5*sin(A)*sin(C)*b²/sin(A+C) = 0.5*sin(A)*sin(B)*c²/sin(A+B) ;

се изчислява последователно лице на триъгълниците Salc, Sblc;

сумата от лицата на 2-та триъгълника е Salc+ Sblc = S = a*b/2 = 0.5*a²*tan(α) - от тригонометричната функция tan(α) = a/b;

изчислява се катет BC: a = √(2*S/tan(α));

изчислява се катет AC: b = a/tan(α);

изчислява се хипотенуза AB: c = b/cos(α);

В правоъгълен триъгълник ABC с хипотенуза АВ е построена ъглополовяща CL на прави ъгъл. Дадени са стойности за дължина CL = lc и остър ъгъл ABC = β. Да се изчислят страните на триъгълника ABC.

Разгледайте други основни типове примери и задачи, чието решение ползва теореми и формули от областта изчислителна геометрия. Прочетете допълнителна информация за: ъглополовяща в триъгълник, ъглополовящи и правоъгълен триъгълник, ъглополовящи и симетрала.